Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số

---

Nhắc lại về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên K (K là một khoảng, đoạn, hay nửa khoảng nào đó)

+ Hàm số $ y=f(x) $ được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

$\forall\,\,x_1,x_2\in K:x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Hay nói đơn giản là: $ \dfrac {f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0 $ $ \forall x_1,x_2 \in K, x_1 \neq x_2 $

+ Hàm số $ y=f(x) $ được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

$\forall\,\,x_1,x_2\in K:x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Hay nói đơn giản là: $ \dfrac {f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0 $ $ \forall x_1,x_2 \in K, x_1 \neq x_2 $

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. Nên nói xét tính đơn điệu của hàm số chính là nói tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lưu ý: Hàm số có thể đồng biến trên khoảng này nhưng lại nghịch biến trên khoảng khác

Ví dụ: Xét hàm số $ y=f(x) $ có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thị, ta có hàm số đồng biến trên $ (-\infty;-2) $ và $ (0;+\infty) $ ; hàm số nghịch biến trên $ (-2;0) $

Xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm

Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm trên K

+ Nếu $ f'(x) \geq 0 \,\,\forall x \in K $ ( $ f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số đồng biến trên K.

+ Nếu $ f'(x) \leq 0 \,\,\forall x \in K $ ( $ f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số nghịch biến trên K.

+ Nếu $ f'(x)=0 \,\, \forall x \in K $ thì hàm số không đổi trên K.

Nhận xét: Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta chỉ cần tìm đạo hàm $ y’=f'(x) $ của hàm số đó rồi xét dấu $ y’=f'(x) $ (lập bảng biến thiên), từ đó suy ra được các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

a) $ y=\dfrac {1}{3}x^3-2x^2+4x-5 $

b) $ y=x^4-2x^2+3 $

c) $ y=\dfrac {2x-5}{x-2} $

Giải:

a) $ y=\dfrac {1}{3}x^3-2x^2+4x-5 $

Tập xác định: $ D=\mathbb R$

$y’=x^2-4x+4$

$y’=0 \Leftrightarrow x=2$

Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số $ y=\dfrac {1}{3}x^3-2x^2+4x-5 $ đồng biến trên $ \mathbb R $

b) $ y=x^4-2x^2+3 $

Tập xác định: $ D=\mathbb R$

$y’=4x^3-4x$

$y’=0\Leftrightarrow \left[\begin{align}x=&0\\x=&\pm 1\end{align}\right.$

Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số $ y=x^4-2x^2+3 $ đồng biến trên các khoảng $ (-1;2) $ và $(1;+\infty) $ ; nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty;-1)$ và $(0;1) $

c) $ y=\dfrac {2x-5}{x-2} $

Tập xác định: $ D=\mathbb R \setminus \{2\}$

$y’=\dfrac {1}{(x-2)^2}>0 \,\,\,\,\forall x \neq 2 $

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số $ y=\dfrac {2x-5}{x-2} $ đồng biến trên các khoảng $ (-\infty;2)$ và $(2;+\infty) $

Lưu ý: Sẽ là sai nếu ta kết luận hàm số đồng biến trên $ \mathbb R \setminus \{2\} $ hoặc nói hàm số đồng biến trên $ (-\infty;2) \cup (2;+\infty) $

Ví dụ 2: Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên từng khoảng xác định của nó:

a) $ y=\dfrac {1}{3}x^3+(m+1)x^2-(m+1)x+1 $

b) $ y=\dfrac {mx+3}{3x+m} $

Giải:

a) $ y=\dfrac {1}{3}x^3+(m+1)x^2-(m+1)x+1 $

Tập xác định: $ D=\mathbb R$

$y’=x^2+2(m+1)x-(m+1) $

Hàm số đồng biến trên $ \mathbb R $ khi và chỉ khi $ y’ \geq 0 \,\,\forall x\in \mathbb R$

$\Leftrightarrow \Delta’ =(m+1)^2+4(m+1)\leq 0$

$ \Leftrightarrow (m+1)(m+5) \leq 0$

$ \Leftrightarrow -5 \leq m \leq -1$

Nhắc lại: hàm số $ y=ax^2+bx+c \geq 0 \,\,\forall x \in \mathbb R \Leftrightarrow \begin{cases} a&>&0\\ \Delta &\leq &0 \end{cases} $

b) $ y=\dfrac {mx+3}{3x+m} $

Tập xác định: $ D=\mathbb R \setminus \left\{-\dfrac {m}{3}\right\} $

$ y’=\dfrac {m^2-9}{(3x+m)^2} $

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó khi và chỉ khi $ y’>0 \,\, \forall x \in D$

$ \Leftrightarrow m^2-9>0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}m&<&-3\\m&>&3 \end{matrix} \right. $

Lưu ý: Ở đây ta chỉ lấy $ y’>0 $ mà không lấy $ y’\geq 0 $ vì nếu $ y’=0 $ thì $y’=0 \,\forall x \in D $

Ví dụ 3: Giải phương trình $ \sqrt {x+3}+\sqrt {2x-1}+\sqrt {5x+4}=6 $

Điều kiện $ x \geq \dfrac {1}{2} $

Thay $ x=\dfrac {1}{2} $ vào phương trình ta thấy 2 vế không bằng nhau nên $ x=\dfrac {1}{2} $ không phải nghiệm phương trình.

Xét hàm số : $ y=\sqrt {x+3}+\sqrt {2x-1}+\sqrt {5x+4}$

$y’=\dfrac {1}{2\sqrt {x+3}}+\dfrac {1}{\sqrt {2x-1}}+\dfrac {5}{2\sqrt {5x+4}}>0\,\,\forall x >\dfrac {1}{2} $

Do đó hàm số $ y=\sqrt {x+3}+\sqrt {2x-1}+\sqrt {5x+4} $ đồng biến trên $ \left(\dfrac {1}{2};+\infty\right) $

Mặt khác, dễ thấy $ x=1 $ là một nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $ x=1 $.

Xem thêm video tại: https://www.youtube.com/c/HọctoánonlineThầyĐăngNTB