Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
Giả sử đã cho tập hợp $A.$
Một tập hợp có thể được xác định bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
Vậy ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách sau
Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.
Tập hợp rỗng, kí hiệu là $\varnothing ,$ là tập hợp không chứa phần tử nào.
Nếu $A$ không phải là tập hợp rỗng thì $A$ chứa ít nhất một phần tử.
$A\ne \varnothing \Leftrightarrow \exists x:\,\,x\in A.$
Nếu mọi phần tử của tập hợp $A$ đều là phần tử của tập hợp $B$ thì ta nói $A$ là một tập hợp con của $B$ và viết $A\subset B$ (đọc là $A$ chứa trong $B$).
Thay cho $A\subset B$ ta cũng viết $B\supset A$ (đọc là $B$ chứa $A$ hoặc $B$ bao hàm $A$)
Như vậy $A\subset B\Leftrightarrow \left( \forall x:\,\,x\in A\Rightarrow x\in B \right).$
Nếu $A$ không phải là một tập con của $B,$ ta viết $A\not\subset B.$
Ta có các tính chất sau
Khi $A\subset B$ và $B\subset A$ ta nói tập hợp $A$ bằng tập hợp $B$ và viết là $A=B.$ Như vậy
$A=B\Leftrightarrow \left( \forall x:\,\,x\in A\Leftrightarrow x\in B \right).$
$\begin{align} & \mathbb{N}=\left\{ \,0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,… \right\}\,\,; \\ & {{\mathbb{N}}^{*}}=\left\{ \,1,\,\,2,\,\,3,\,\,… \right\}. \\ \end{align}$
$\mathbb{Z}=\left\{ …,\,\,-\,3,\,\,-\,2,\,\,-\,1,\,\,0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,… \right\}.$
Các số $-\,\,1,\,\,-\,2,\,\,-\,3,\,\,…$ là các số nguyên âm.
Vậy $\mathbb{Z}$ gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm.
Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số $\dfrac{a}{b},$ trong đó $a,\,\,b\in \mathbb{Z},\,\,b\ne 0.$
Hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ biểu diễn cùng một số hữu tỉ khi và chỉ khi $ad=bc.$
Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.
Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực $\mathbb{R}.$
Tập hợp $C$ gồm các phần tử vừa thuộc $A,$ vừa thuộc $B$ được gọi là giao của $A$ và $B.$
Kí hiệu $C=A\cap B$ (phần gạch chéo trong hình).
Vậy $A\cap B=\left\{ x|x\in A\,\,\text{và }x\in B \right\}$
$x\in A\cap B\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\in A \\ & x\in B \\ \end{align} \right.$
Tập hợp $C$ gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ được gọi là hợp của $A$ và $B$
Kí hiệu $C=A\cup B$ (phần gạch chéo trong hình).
Vậy $A\cup B=\left\{ x|x\in A\,\,\text{hoặc }\,\,x\in B \right\}$
$x\in A\cup B\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\in A \\ & x\in B \\ \end{align} \right.$
Cho $B\subset A$. Tập hợp tất cả các phần tử của $A$ mà không phải là phần tử của $B$ được gọi là phần bù của $B$ trong $A,$ kí hiệu ${{C}_{A}}B$ (phần gạch chéo trong hình).
Tập hợp $C$ gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ gọi là hiệu của $A$ và $B.$
Kí hiệu $C=A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B$ (phần gạch chéo trong hình).
Vậy $A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B=A\cup B=\left\{ x|x\in A\,\,\text{và }x\in B \right\}$
$x\in A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\in A \\ & x\notin B \\ \end{align} \right.$
Khi $B\subset A$ thì ${{C}_{A}}B=A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B$.