Lý thuyết Tập hợp

I – KHÁI NIỆM TẬP HỢP

1. Tập hợp và phần tử

Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.

Giả sử đã cho tập hợp $A.$

  • Để chỉ $a$ là một phần tử của tập hợp $A,$ ta viết $a\in A$ (đọc là $a$ thuộc $A$).
  • Để chỉ $a$ không phải là một phần tử của tập hợp $A,$ ta viết $a\notin A$ (đọc là $P$ không thuộc $A$).

2. Cách xác định tập hợp

Một tập hợp có thể được xác định bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

Vậy ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách sau

  • Liệt kê các phần tử của nó.
  • Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.

3. Tập hợp rỗng

Tập hợp rỗng, kí hiệu là $\varnothing ,$ là tập hợp không chứa phần tử nào.

Nếu $A$ không phải là tập hợp rỗng thì $A$ chứa ít nhất một phần tử.

$A\ne \varnothing \Leftrightarrow \exists x:\,\,x\in A.$

II – TẬP HỢP CON VÀ HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU

1. Tập hợp con

Nếu mọi phần tử của tập hợp $A$ đều là phần tử của tập hợp $B$ thì ta nói $A$ là một tập hợp con của $B$ và viết $A\subset B$ (đọc là $A$ chứa trong $B$).

Thay cho $A\subset B$ ta cũng viết $B\supset A$ (đọc là $B$ chứa $A$ hoặc $B$ bao hàm $A$)

Như vậy $A\subset B\Leftrightarrow \left( \forall x:\,\,x\in A\Rightarrow x\in B \right).$

Nếu $A$ không phải là một tập con của $B,$ ta viết $A\not\subset B.$

Ta có các tính chất sau

  • $A\subset A$ với mọi tập hợp $A$
  • Nếu $A\subset B$ và $B\subset C$ thì $A\subset C$
  • $\varnothing \subset A$ với mọi tập hợp $A.$

3. Tập hợp bằng nhau

Khi $A\subset B$ và $B\subset A$ ta nói tập hợp $A$ bằng tập hợp $B$ và viết là $A=B.$ Như vậy

$A=B\Leftrightarrow \left( \forall x:\,\,x\in A\Leftrightarrow x\in B \right).$

III – CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC

1. Các tập hợp số đã học

a) Tập hợp các số tự nhiên $\mathbb{N}$

$\begin{align}  & \mathbb{N}=\left\{ \,0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,… \right\}\,\,; \\ & {{\mathbb{N}}^{*}}=\left\{ \,1,\,\,2,\,\,3,\,\,… \right\}. \\ \end{align}$

b) Tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z}$

$\mathbb{Z}=\left\{ …,\,\,-\,3,\,\,-\,2,\,\,-\,1,\,\,0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,… \right\}.$

Các số $-\,\,1,\,\,-\,2,\,\,-\,3,\,\,…$ là các số nguyên âm.

Vậy $\mathbb{Z}$ gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm.

c) Tập hợp các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$

Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số $\dfrac{a}{b},$ trong đó $a,\,\,b\in \mathbb{Z},\,\,b\ne 0.$

Hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ biểu diễn cùng một số hữu tỉ khi và chỉ khi $ad=bc.$

Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

d) Tập hợp các số thực $\mathbb{R}$

Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.

Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

tap hop 2

2. Các tập hợp con thường dùng của $\mathbb{R}$

Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực $\mathbb{R}.$

tap hop 1

IV – GIAO CỦA HAI TẬP HỢP

Tập hợp $C$ gồm các phần tử vừa thuộc $A,$ vừa thuộc $B$ được gọi là giao của $A$ và $B.$

Kí hiệu $C=A\cap B$ (phần gạch chéo trong hình).

tap hop 3

Vậy $A\cap B=\left\{ x|x\in A\,\,\text{và }x\in B \right\}$

$x\in A\cap B\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\in A \\ & x\in B \\ \end{align} \right.$

V – HỢP CỦA HAI TẬP HỢP

Tập hợp $C$ gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ được gọi là hợp của $A$ và $B$

Kí hiệu $C=A\cup B$ (phần gạch chéo trong hình).

tap hop 4

Vậy $A\cup B=\left\{ x|x\in A\,\,\text{hoặc }\,\,x\in B \right\}$

$x\in A\cup B\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x\in A \\ & x\in B \\ \end{align} \right.$

VI – PHẦN BÙ. HIỆU CỦA HAI TẬP HỢP

Cho $B\subset A$. Tập hợp tất cả các phần tử của $A$ mà không phải là phần tử của $B$ được gọi là phần bù của $B$ trong $A,$ kí hiệu ${{C}_{A}}B$ (phần gạch chéo trong hình).

tap hop 5

Tập hợp $C$ gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ gọi là hiệu của $A$ và $B.$

Kí hiệu $C=A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B$ (phần gạch chéo trong hình).

tap hop 6

Vậy $A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B=A\cup B=\left\{ x|x\in A\,\,\text{và }x\in B \right\}$

$x\in A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\in A \\ & x\notin B \\ \end{align} \right.$

Khi $B\subset A$ thì ${{C}_{A}}B=A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B$.

Bình luận

Để lại bình luận

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

Chuyển đến thanh công cụ