Lý thuyết phương trình mũ


Phương trình mũ cơ bản

Dạng: $a^x=b\;(a>0,a \neq 1)$

Nếu $b\leq 0$: phương trình vô nghiệm

Nếu $b>0$: phương trình có nghiệm duy nhất $x=\log_a b$

Lưu ý: Với $a>0,a \neq 1$ ta cũng có:

$a^{f(x)}=b$ $ (b>0)$ $ \Leftrightarrow f(x)=\log_a b$

$a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $\Leftrightarrow f(x)=g(x)$

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $2^x=16$.

b) $3^{2x-1}=5$.

c) $0,3^{x^2+x-1}=0,3^{3x+7}$

Giải:

a) $2^x=16$ $\Leftrightarrow x=\log_2 16=4$

Vậy phương trình có một nghiệm là $x=4$.

b) $3^{2x-1}=5$

$ \Leftrightarrow 2x-1=\log_3 5$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1+\log_3 5}{2}$

Vậy phương trình có một nghiệm là $x=\dfrac{1+\log_3 5}{2}$.

c) $0,3^{x^2+x-1}=0,3^{3x+7}$

$ \Leftrightarrow x^2+x-1=3x+7 $

$ \Leftrightarrow x^2-2x-8=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x &=4\\x &=-2 \end{aligned} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{-2; 4 \}$.

Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

1) Đưa về cùng cơ số:

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) $(1,5)^{5x-7}= \left( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1}$

b) $(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(3+2\sqrt{2})^{x+2}$

Giải:

a) $(1,5)^{5x-7}= \left( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1}$

Ta có : $1,5=\dfrac{3}{2} ; \dfrac{2}{3}=\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-1}$ nên ta đưa 2 vế về cùng một cơ số là $\dfrac{3}{2}$.

Phương trình trở thành:

$\left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x-7}=\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-x-1}$

$ \Leftrightarrow 5x-7=-x-1$

$ \Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình có một nghiệm là: $x=1$.

b) $(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(3+2\sqrt{2})^{x+2}$

Ta có:

$\begin{aligned}3+2\sqrt{2}&=(\sqrt{2}+1)^2\\&=\dfrac{1}{(\sqrt{2}-1)^2}\\&=(\sqrt{2}-1)^{-2}\end{aligned}$

Do đó phương trình trở thành:

$(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(\sqrt{2}-1)^{-2x-4}$

$ \Leftrightarrow x^2+3x=-2x-4 $

$\Leftrightarrow x^2+5x+4=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-1\\x=-4\end{matrix} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{ -4;-2 \}$.

2) Đặt ẩn phụ:

Ví dụ 3: Giải phương trình

a) $64^x-8^x-56=0$.

b) $3.4^x-2.6^x=9^x$.

c) $(\sqrt{2}+1)^x-3(\sqrt{2}-1)^x+2=0$.

Giải:

a) $64^x-8^x-56=0$

Đặt $t=8^x$, $(t>0)$, khi đó phương trình trở thành

$t^2-t-56=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=8\\t&=-7 \text{(loại)}\end{aligned} \right.$

Với $t=8 \Leftrightarrow 8^x=8$ $\Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.

b) $3.4^x-2.6^x=9^x$

Chia 2 vế của phương trình cho $4^x$ ta được:

$3-2.\left( \dfrac{3}{2}\right)^x=\left( \dfrac{9}{4} \right)^x$

Đặt: $t=\left( \dfrac{3}{2} \right)^x$, $(t>0)$, phương trình trở thành:

$t^2+2t-3=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\;\text{(loại)} \end{aligned} \right.$

Với $t=1 \Leftrightarrow \left( \dfrac{3}{2} \right)^x=1 \Leftrightarrow x=0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.

c) $(\sqrt{2}+1)^x-3(\sqrt{2}-1)^x+2=0$

Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$

$\Rightarrow (\sqrt{2}-1)^x=\dfrac{1}{(\sqrt{2}+1)^x}$

Do đó, bằng việc đặt $t=(\sqrt{2}+1)^x,\;(t>0)$, phương trình trở thành:

$t-\dfrac{3}{t}+2=0$

$ \Leftrightarrow t^2+2t-3=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\;\text{(loại)} \end{aligned} \right.$

Với $t=1 \Leftrightarrow (\sqrt{2}+1)^x=1$ $\Leftrightarrow x=0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.

3) Logarit hóa:

Phương pháp logarit hóa là lấy logarit 2 vế với cơ số thích hợp, thường chỉ dùng cho các phương trình mũ có dạng tích, thương.

Ví dụ 4: Giải phương trình: $2^{x^2}.3^{x+1}=2$

Giải:

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế ta được:

$\log_2(2^{x^2}.3^{x+1})=\log_2 2$

$\Leftrightarrow \log_2 2^{x^2}+\log_2 3^{x+1}=1$

$\Leftrightarrow x^2+(x+1)\log_2 3 =1$

$\Leftrightarrow x^2+x.\log_2 3+\log_2 3-1=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=-1\\x&=1-\log_2 3 \end{aligned} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S= \{ -1;1-\log_2 3 \}$

Bình luận

Để lại bình luận

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

error

Nếu thấy hay đừng quên chia sẻ cho mọi người biết với nhé

Follow by Email57
Facebook314
Twitter112
YouTube1k
YouTube
WhatsApp20
Chuyển đến thanh công cụ