Dạng: $a^x=b\;(a>0,a \neq 1)$
Nếu $b\leq 0$: phương trình vô nghiệm
Nếu $b>0$: phương trình có nghiệm duy nhất $x=\log_a b$
Lưu ý: Với $a>0,a \neq 1$ ta cũng có:
$a^{f(x)}=b$ $ (b>0)$ $ \Leftrightarrow f(x)=\log_a b$
$a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $\Leftrightarrow f(x)=g(x)$
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a) $2^x=16$.
b) $3^{2x-1}=5$.
c) $0,3^{x^2+x-1}=0,3^{3x+7}$
Giải:
a) $2^x=16$ $\Leftrightarrow x=\log_2 16=4$
Vậy phương trình có một nghiệm là $x=4$.
b) $3^{2x-1}=5$
$ \Leftrightarrow 2x-1=\log_3 5$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{1+\log_3 5}{2}$
Vậy phương trình có một nghiệm là $x=\dfrac{1+\log_3 5}{2}$.
c) $0,3^{x^2+x-1}=0,3^{3x+7}$
$ \Leftrightarrow x^2+x-1=3x+7 $
$ \Leftrightarrow x^2-2x-8=0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x &=4\\x &=-2 \end{aligned} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{-2; 4 \}$.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a) $(1,5)^{5x-7}= \left( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1}$
b) $(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(3+2\sqrt{2})^{x+2}$
Giải:
a) $(1,5)^{5x-7}= \left( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1}$
Ta có : $1,5=\dfrac{3}{2} ; \dfrac{2}{3}=\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-1}$ nên ta đưa 2 vế về cùng một cơ số là $\dfrac{3}{2}$.
Phương trình trở thành:
$\left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x-7}=\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-x-1}$
$ \Leftrightarrow 5x-7=-x-1$
$ \Leftrightarrow x=1$
Vậy phương trình có một nghiệm là: $x=1$.
b) $(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(3+2\sqrt{2})^{x+2}$
Ta có:
$\begin{aligned}3+2\sqrt{2}&=(\sqrt{2}+1)^2\\&=\dfrac{1}{(\sqrt{2}-1)^2}\\&=(\sqrt{2}-1)^{-2}\end{aligned}$
Do đó phương trình trở thành:
$(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(\sqrt{2}-1)^{-2x-4}$
$ \Leftrightarrow x^2+3x=-2x-4 $
$\Leftrightarrow x^2+5x+4=0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-1\\x=-4\end{matrix} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{ -4;-2 \}$.
Ví dụ 3: Giải phương trình
a) $64^x-8^x-56=0$.
b) $3.4^x-2.6^x=9^x$.
c) $(\sqrt{2}+1)^x-3(\sqrt{2}-1)^x+2=0$.
Giải:
a) $64^x-8^x-56=0$
Đặt $t=8^x$, $(t>0)$, khi đó phương trình trở thành
$t^2-t-56=0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=8\\t&=-7 \text{(loại)}\end{aligned} \right.$
Với $t=8 \Leftrightarrow 8^x=8$ $\Leftrightarrow x=1$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.
b) $3.4^x-2.6^x=9^x$
Chia 2 vế của phương trình cho $4^x$ ta được:
$3-2.\left( \dfrac{3}{2}\right)^x=\left( \dfrac{9}{4} \right)^x$
Đặt: $t=\left( \dfrac{3}{2} \right)^x$, $(t>0)$, phương trình trở thành:
$t^2+2t-3=0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\;\text{(loại)} \end{aligned} \right.$
Với $t=1 \Leftrightarrow \left( \dfrac{3}{2} \right)^x=1 \Leftrightarrow x=0$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.
c) $(\sqrt{2}+1)^x-3(\sqrt{2}-1)^x+2=0$
Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$
$\Rightarrow (\sqrt{2}-1)^x=\dfrac{1}{(\sqrt{2}+1)^x}$
Do đó, bằng việc đặt $t=(\sqrt{2}+1)^x,\;(t>0)$, phương trình trở thành:
$t-\dfrac{3}{t}+2=0$
$ \Leftrightarrow t^2+2t-3=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\;\text{(loại)} \end{aligned} \right.$
Với $t=1 \Leftrightarrow (\sqrt{2}+1)^x=1$ $\Leftrightarrow x=0$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.
Phương pháp logarit hóa là lấy logarit 2 vế với cơ số thích hợp, thường chỉ dùng cho các phương trình mũ có dạng tích, thương.
Ví dụ 4: Giải phương trình: $2^{x^2}.3^{x+1}=2$
Giải:
Lấy logarit cơ số 2 của hai vế ta được:
$\log_2(2^{x^2}.3^{x+1})=\log_2 2$
$\Leftrightarrow \log_2 2^{x^2}+\log_2 3^{x+1}=1$
$\Leftrightarrow x^2+(x+1)\log_2 3 =1$
$\Leftrightarrow x^2+x.\log_2 3+\log_2 3-1=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=-1\\x&=1-\log_2 3 \end{aligned} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S= \{ -1;1-\log_2 3 \}$