Lý thuyết phương trình mũ

---

Phương trình mũ cơ bản

Dạng: $a^x=b\;(a>0,a \neq 1)$

Nếu $b\leq 0$: phương trình vô nghiệm

Nếu $b>0$: phương trình có nghiệm duy nhất $x=\log_a b$

Lưu ý: Với $a>0,a \neq 1$ ta cũng có:

$a^{f(x)}=b$ $ (b>0)$ $ \Leftrightarrow f(x)=\log_a b$

$a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $\Leftrightarrow f(x)=g(x)$

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $2^x=16$.

b) $3^{2x-1}=5$.

c) $0,3^{x^2+x-1}=0,3^{3x+7}$

Giải:

a) $2^x=16$ $\Leftrightarrow x=\log_2 16=4$

Vậy phương trình có một nghiệm là $x=4$.

b) $3^{2x-1}=5$

$ \Leftrightarrow 2x-1=\log_3 5$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1+\log_3 5}{2}$

Vậy phương trình có một nghiệm là $x=\dfrac{1+\log_3 5}{2}$.

c) $0,3^{x^2+x-1}=0,3^{3x+7}$

$ \Leftrightarrow x^2+x-1=3x+7 $

$ \Leftrightarrow x^2-2x-8=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x &=4\\x &=-2 \end{aligned} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{-2; 4 \}$.

Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

1) Đưa về cùng cơ số:

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) $(1,5)^{5x-7}= \left( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1}$

b) $(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(3+2\sqrt{2})^{x+2}$

Giải:

a) $(1,5)^{5x-7}= \left( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1}$

Ta có : $1,5=\dfrac{3}{2} ; \dfrac{2}{3}=\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-1}$ nên ta đưa 2 vế về cùng một cơ số là $\dfrac{3}{2}$.

Phương trình trở thành:

$\left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x-7}=\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-x-1}$

$ \Leftrightarrow 5x-7=-x-1$

$ \Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình có một nghiệm là: $x=1$.

b) $(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(3+2\sqrt{2})^{x+2}$

Ta có:

$\begin{aligned}3+2\sqrt{2}&=(\sqrt{2}+1)^2\\&=\dfrac{1}{(\sqrt{2}-1)^2}\\&=(\sqrt{2}-1)^{-2}\end{aligned}$

Do đó phương trình trở thành:

$(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(\sqrt{2}-1)^{-2x-4}$

$ \Leftrightarrow x^2+3x=-2x-4 $

$\Leftrightarrow x^2+5x+4=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-1\\x=-4\end{matrix} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{ -4;-2 \}$.

2) Đặt ẩn phụ:

Ví dụ 3: Giải phương trình

a) $64^x-8^x-56=0$.

b) $3.4^x-2.6^x=9^x$.

c) $(\sqrt{2}+1)^x-3(\sqrt{2}-1)^x+2=0$.

Giải:

a) $64^x-8^x-56=0$

Đặt $t=8^x$, $(t>0)$, khi đó phương trình trở thành

$t^2-t-56=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=8\\t&=-7 \text{(loại)}\end{aligned} \right.$

Với $t=8 \Leftrightarrow 8^x=8$ $\Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.

b) $3.4^x-2.6^x=9^x$

Chia 2 vế của phương trình cho $4^x$ ta được:

$3-2.\left( \dfrac{3}{2}\right)^x=\left( \dfrac{9}{4} \right)^x$

Đặt: $t=\left( \dfrac{3}{2} \right)^x$, $(t>0)$, phương trình trở thành:

$t^2+2t-3=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\;\text{(loại)} \end{aligned} \right.$

Với $t=1 \Leftrightarrow \left( \dfrac{3}{2} \right)^x=1 \Leftrightarrow x=0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.

c) $(\sqrt{2}+1)^x-3(\sqrt{2}-1)^x+2=0$

Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$

$\Rightarrow (\sqrt{2}-1)^x=\dfrac{1}{(\sqrt{2}+1)^x}$

Do đó, bằng việc đặt $t=(\sqrt{2}+1)^x,\;(t>0)$, phương trình trở thành:

$t-\dfrac{3}{t}+2=0$

$ \Leftrightarrow t^2+2t-3=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\;\text{(loại)} \end{aligned} \right.$

Với $t=1 \Leftrightarrow (\sqrt{2}+1)^x=1$ $\Leftrightarrow x=0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.

3) Logarit hóa:

Phương pháp logarit hóa là lấy logarit 2 vế với cơ số thích hợp, thường chỉ dùng cho các phương trình mũ có dạng tích, thương.

Ví dụ 4: Giải phương trình: $2^{x^2}.3^{x+1}=2$

Giải:

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế ta được:

$\log_2(2^{x^2}.3^{x+1})=\log_2 2$

$\Leftrightarrow \log_2 2^{x^2}+\log_2 3^{x+1}=1$

$\Leftrightarrow x^2+(x+1)\log_2 3 =1$

$\Leftrightarrow x^2+x.\log_2 3+\log_2 3-1=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=-1\\x&=1-\log_2 3 \end{aligned} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S= \{ -1;1-\log_2 3 \}$