Lý thuyết một số phương trình lượng giác thường gặp

---

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng: $a.t+b=0\;(a\neq 0)$

Trong đó $t$ là 1 trong các hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải phương trình:

a) $2\sin x+1=0$

b) $\sin 2x – \cos x =0$

Giải:

a) $2\sin x+1=0$

$\Leftrightarrow \sin x=-\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x=&-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=&\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi \end{aligned}\right.$

b) $\sin 2x-\cos x=0$

$\Leftrightarrow 2\sin x \cos x-\cos x=0$

$\Leftrightarrow \cos x (2\sin x -1)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\cos x&=0\\ \sin x &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\x=&\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=&\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.$

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng: $a.t^2+b.t+c=0\;(a\neq 0)$

Trong đó $t$ là 1 trong các hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải phương trình:

a) $\tan^2 x-3\tan x+2=0$

b) $\sin^2 x-2\cos x +2=0$

Giải:

a) $\tan^2 x-3\tan x+2 =0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\tan x&=1\\ \tan x&=2\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=&\arctan 2 +k\pi\end{aligned}\right.$

b) $\sin^2 x-2\cos x+2=0$

$\Leftrightarrow -\cos^2 x-2\cos x+3=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\cos x = &1\\ \cos x =& -3 \text{ (loại)}\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow x=k2\pi$

Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Biến đổi $f(x)=a\sin x+b\cos x$

Ta có:

$f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)$

Vì $\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1$ nên đặt:

$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\alpha$, $\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\alpha$

Khi đó:

$f(x)=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha\sin x+\sin\alpha\cos x)$

$=\sqrt{a^2+b^2}.\sin(x+\alpha)$

Ví dụ: Tìm GTLN – GTNN của hàm số:

$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x+3$

Ta có:

$\begin{aligned}y&=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)+3\\&=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}\sin x-\sin\dfrac{\pi}{3}\cos x\right)+3\\&=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+3\end{aligned}$

Dễ thấy: $1\leq y \leq 5$

Do đó:

$\min y=1$ khi $x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$

$\max y=5$ khi $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$

Phương trình: $a\sin x+b\cos x=c$

Đưa phương trình về dạng:

$\sin (x+\alpha)=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Từ phương trình trên, dễ thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: $a^2+b^2\geq c^2$

Ví dụ: Giải phương trình

a) $\sin x – \cos x=\sqrt{2}$

b) $2\sin x+3\cos x=10$

c) $\cos 2x +\sqrt{3}\sin 2x=1$

Giải:

a) $\sin x- \cos x=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x=1$

$\Leftrightarrow \cos\dfrac{\pi}{4}\sin x-\sin\dfrac{\pi}{4}\cos x=1$

$\Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1$

$\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$

b) $2\sin x +3\cos x =10$

Ta có: $2^2+3^2<10^2$

Do đó phương trình vô nghiệm

c) $\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\dfrac{1}{2}\cos 2x=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin\left( 2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x+\dfrac{\pi}{6}&=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ 2x+\dfrac{\pi}{6}&=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&k\pi\\x=&\dfrac{\pi}{3}+k\pi\end{aligned}\right.$