Lý thuyết một số phương trình lượng giác thường gặp


Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng: $a.t+b=0\;(a\neq 0)$

Trong đó $t$ là 1 trong các hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải phương trình:

a) $2\sin x+1=0$

b) $\sin 2x – \cos x =0$

Giải:

a) $2\sin x+1=0$

$\Leftrightarrow \sin x=-\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x=&-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=&\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi \end{aligned}\right.$

b) $\sin 2x-\cos x=0$

$\Leftrightarrow 2\sin x \cos x-\cos x=0$

$\Leftrightarrow \cos x (2\sin x -1)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\cos x&=0\\ \sin x &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\x=&\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=&\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.$

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng: $a.t^2+b.t+c=0\;(a\neq 0)$

Trong đó $t$ là 1 trong các hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải phương trình:

a) $\tan^2 x-3\tan x+2=0$

b) $\sin^2 x-2\cos x +2=0$

Giải:

a) $\tan^2 x-3\tan x+2 =0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\tan x&=1\\ \tan x&=2\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=&\arctan 2 +k\pi\end{aligned}\right.$

b) $\sin^2 x-2\cos x+2=0$

$\Leftrightarrow -\cos^2 x-2\cos x+3=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\cos x = &1\\ \cos x =& -3 \text{ (loại)}\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow x=k2\pi$

Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Biến đổi $f(x)=a\sin x+b\cos x$

Ta có:

$f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)$

Vì $\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1$ nên đặt:

$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\alpha$, $\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\alpha$

Khi đó:

$f(x)=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha\sin x+\sin\alpha\cos x)$

$=\sqrt{a^2+b^2}.\sin(x+\alpha)$

Ví dụ: Tìm GTLN – GTNN của hàm số:

$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x+3$

Ta có:

$\begin{aligned}y&=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)+3\\&=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}\sin x-\sin\dfrac{\pi}{3}\cos x\right)+3\\&=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+3\end{aligned}$

Dễ thấy: $1\leq y \leq 5$

Do đó:

$\min y=1$ khi $x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$

$\max y=5$ khi $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$

Phương trình: $a\sin x+b\cos x=c$

Đưa phương trình về dạng:

$\sin (x+\alpha)=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Từ phương trình trên, dễ thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: $a^2+b^2\geq c^2$

Ví dụ: Giải phương trình

a) $\sin x – \cos x=\sqrt{2}$

b) $2\sin x+3\cos x=10$

c) $\cos 2x +\sqrt{3}\sin 2x=1$

Giải:

a) $\sin x- \cos x=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x=1$

$\Leftrightarrow \cos\dfrac{\pi}{4}\sin x-\sin\dfrac{\pi}{4}\cos x=1$

$\Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1$

$\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$

b) $2\sin x +3\cos x =10$

Ta có: $2^2+3^2<10^2$

Do đó phương trình vô nghiệm

c) $\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\dfrac{1}{2}\cos 2x=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin\left( 2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x+\dfrac{\pi}{6}&=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ 2x+\dfrac{\pi}{6}&=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&k\pi\\x=&\dfrac{\pi}{3}+k\pi\end{aligned}\right.$

Bình luận

Để lại bình luận

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

error

Nếu thấy hay đừng quên chia sẻ cho mọi người biết với nhé

Follow by Email57
Facebook314
Twitter112
YouTube1k
YouTube
WhatsApp20
Chuyển đến thanh công cụ