Phương trình lượng giác cơ bản lý thuyết bài 2


Phương trình $\sin x =m$

Trường hợp 1: $|m|>1$: Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: $|m| \leq 1$: Đặt $m=\sin \alpha$ phương trình trở thành:

$\begin{align}&\sin x=\sin\alpha\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}x=&\alpha+k2\pi\\x=&\pi-\alpha+k2\pi\end{aligned}\right.\end{align}$

Lưu ý:

  • $\begin{aligned}&\sin f(x)=\sin g(x)\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}f(x)=&g(x)+k2\pi\\f(x)=&\pi-g(x)+k2\pi\end{aligned}\right.\end{aligned}$
  • $\begin{aligned}&\sin x=\sin\alpha^o\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}x=&\alpha^o+k360^o\\x=&180^o-\alpha^o+k360^o\end{aligned}\right.\end{aligned}$

Các trường hợp đặc biệt:

  • $\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
  • $\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
  • $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi$

Ví dụ: Giải phương trình:

a) $\sin x =\dfrac{1}{2}$

b) $\sin x=-\dfrac{3}{2}$

c) $\sin x=\dfrac{1}{3}$

d) $\sin 2x=\sin (x-30^o)$

e) $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$

Giải:

a) $\sin x =\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin x =\sin \dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=&\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.$

Vậy: $S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+k2\pi;\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\right\}$

b) $\sin x=-\dfrac{3}{2}$

Ta có :$\left|-\dfrac{3}{2}\right|=\dfrac{3}{2}>1$

Do đó phương trình vô nghiệm

c) $\sin x=\dfrac{1}{3}$

$\Leftrightarrow\sin x=\sin \alpha$ (với $\sin \alpha=\dfrac{1}{3}$)

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\alpha+k2\pi\\x=&\pi-\alpha+k2\pi\end{aligned}\right. $

Ký hiệu: $ \alpha =\arcsin \dfrac{1}{3}$ ($0\leq \alpha \lt\pi$). Khi đó ta viết:

$\begin{aligned}&\sin x=\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}x=&\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi\\x=&\pi-\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\end{aligned}$

Vậy: $S=\left\{\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi;\pi-\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi\right\}$

d) $\sin 2x=\sin (x-30^o)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x=&x-30^o+k360^o\\2x=&180^o-x+30^o+k360^o\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&-30^o+k360^o\\x=&70^o+k120^o\end{aligned}\right.$

Vậy: $S=\{-30^o+k360^o;70^o+k120^o\}$

e) $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$

$\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$

Vậy: $S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\right\}$

Phương trình $\cos x =m$

Trường hợp 1: $|m|>1$: Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: $|m| \leq 1$: Đặt $m=\cos \alpha$ phương trình trở thành:

$\begin{aligned}&\cos x=\cos\alpha\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}x=&\alpha+k2\pi\\x=&-\alpha+k2\pi\end{aligned}\right.\end{aligned}$

Lưu ý:

  • $\begin{aligned}&\cos f(x)=\cos g(x)\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}f(x)=&g(x)+k2\pi\\f(x)=&-g(x)+k2\pi\end{aligned}\right.\end{aligned}$
  • $\begin{aligned}&\cos x=\cos\alpha^o\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}x=&\alpha^o+k360^o\\x=&-\alpha^o+k360^o\end{aligned}\right.\end{aligned}$

Các trường hợp đặc biệt:

  • $\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi$
  • $\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi$
  • $\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

Ví dụ: Giải phương trình:

a) $\cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

b) $\cos 2x=\cos (x+15^o)$

Giải:

a) $\cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \cos x=\cos \dfrac{3\pi}{4}$

$\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$

Vậy: $S=\left\{\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\right\}$

b) $\cos 2x=\cos (x+15^o)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x=&x+15^o+k360^o\\2x=&-x-15^o+k360^o\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&15^o+k360^o\\x=&-5^o+k120^o\end{aligned}\right.$

Vậy $S=\left\{15^o+k360^o;-5^o+k120^o\right\}$

Phương trình $\tan x=m$

Đặt: $m=\tan \alpha$, phương trình trở thành

$\tan x=\tan\alpha$

$\Leftrightarrow x=\alpha +k\pi$

Lưu ý:

  • $\begin{align}&\tan f(x)=\tan g(x)\\ \Leftrightarrow &\begin{cases}f(x),g(x)\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\\f(x)=g(x)+k\pi\end{cases}\end{align}$
  • $\tan x=\tan \alpha^o \Leftrightarrow x=\alpha^o+k180^o$

Phương trình $\cot x=m$

Đặt: $m=\cot \alpha$, phương trình trở thành

$\cot x=\cot\alpha$

$\Leftrightarrow x=\alpha +k\pi$

Lưu ý:

  • $\begin{align}&\cot f(x)=\cot g(x) \\ \Leftrightarrow &\begin{cases}f(x),g(x)\neq k\pi\\f(x)=g(x)+k\pi\end{cases}\end{align}$
  • $\cot x=\cot \alpha^o \Leftrightarrow x=\alpha^o+k180^o$

Ví dụ: Giải phương trình:

a) $\cot x=\sqrt{3}$

b) $\tan 2x=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

Giải:

a) $\cot x=\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \cot x=\cot \dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$

Vậy tập nghiệm phương trình là: $S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi\right\}$

b) $\tan 2x=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

Điều kiện: $x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$

Khi đó:

$\tan 2x=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow 2x=x+\dfrac{\pi}{4}+k\pi$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$

So với điều kiện, kết luận phương trình vô nghiệm

Bình luận

Để lại bình luận

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

error

Nếu thấy hay đừng quên chia sẻ cho mọi người biết với nhé

Follow by Email57
Facebook314
Twitter112
YouTube1k
YouTube
WhatsApp20
Chuyển đến thanh công cụ