Trường hợp 1: $|m|>1$: Phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: $|m| \leq 1$: Đặt $m=\sin \alpha$ phương trình trở thành:
$\begin{align}&\sin x=\sin\alpha\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}x=&\alpha+k2\pi\\x=&\pi-\alpha+k2\pi\end{aligned}\right.\end{align}$
Lưu ý:
Các trường hợp đặc biệt:
Ví dụ: Giải phương trình:
a) $\sin x =\dfrac{1}{2}$
b) $\sin x=-\dfrac{3}{2}$
c) $\sin x=\dfrac{1}{3}$
d) $\sin 2x=\sin (x-30^o)$
e) $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$
Giải:
a) $\sin x =\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sin x =\sin \dfrac{\pi}{6}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=&\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.$
Vậy: $S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+k2\pi;\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\right\}$
b) $\sin x=-\dfrac{3}{2}$
Ta có :$\left|-\dfrac{3}{2}\right|=\dfrac{3}{2}>1$
Do đó phương trình vô nghiệm
c) $\sin x=\dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow\sin x=\sin \alpha$ (với $\sin \alpha=\dfrac{1}{3}$)
$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\alpha+k2\pi\\x=&\pi-\alpha+k2\pi\end{aligned}\right. $
Ký hiệu: $ \alpha =\arcsin \dfrac{1}{3}$ ($0\leq \alpha \lt\pi$). Khi đó ta viết:
$\begin{aligned}&\sin x=\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}x=&\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi\\x=&\pi-\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\end{aligned}$
Vậy: $S=\left\{\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi;\pi-\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi\right\}$
d) $\sin 2x=\sin (x-30^o)$
$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x=&x-30^o+k360^o\\2x=&180^o-x+30^o+k360^o\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&-30^o+k360^o\\x=&70^o+k120^o\end{aligned}\right.$
Vậy: $S=\{-30^o+k360^o;70^o+k120^o\}$
e) $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$
$\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi $
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$
Vậy: $S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\right\}$
Trường hợp 1: $|m|>1$: Phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: $|m| \leq 1$: Đặt $m=\cos \alpha$ phương trình trở thành:
$\begin{aligned}&\cos x=\cos\alpha\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}x=&\alpha+k2\pi\\x=&-\alpha+k2\pi\end{aligned}\right.\end{aligned}$
Lưu ý:
Các trường hợp đặc biệt:
Ví dụ: Giải phương trình:
a) $\cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
b) $\cos 2x=\cos (x+15^o)$
Giải:
a) $\cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow \cos x=\cos \dfrac{3\pi}{4}$
$\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$
Vậy: $S=\left\{\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\right\}$
b) $\cos 2x=\cos (x+15^o)$
$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x=&x+15^o+k360^o\\2x=&-x-15^o+k360^o\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&15^o+k360^o\\x=&-5^o+k120^o\end{aligned}\right.$
Vậy $S=\left\{15^o+k360^o;-5^o+k120^o\right\}$
Đặt: $m=\tan \alpha$, phương trình trở thành
$\tan x=\tan\alpha$
$\Leftrightarrow x=\alpha +k\pi$
Lưu ý:
Đặt: $m=\cot \alpha$, phương trình trở thành
$\cot x=\cot\alpha$
$\Leftrightarrow x=\alpha +k\pi$
Lưu ý:
Ví dụ: Giải phương trình:
a) $\cot x=\sqrt{3}$
b) $\tan 2x=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$
Giải:
a) $\cot x=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \cot x=\cot \dfrac{\pi}{6}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$
Vậy tập nghiệm phương trình là: $S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi\right\}$
b) $\tan 2x=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$
Điều kiện: $x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$
Khi đó:
$\tan 2x=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\Leftrightarrow 2x=x+\dfrac{\pi}{4}+k\pi$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$
So với điều kiện, kết luận phương trình vô nghiệm