Dạng: $\log_a x=b$ $(a>0,a \neq 1)$
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất: $x=a^b$
Lưu ý: Với $a>0,a\neq 1$ ta cũng có:
$\log_a f(x)=b$ $\Leftrightarrow f(x)=a^b$
$ \log_a f(x) =\log_a g(x)$ $\Leftrightarrow f(x)=g(x)>0$
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a) $\log_2 x=-3$.
b) $\log_2 (x^2-2x-7)=3$.
c) $\log_3 (x^2+x-1)=\log_3 (2x+1)$
Giải:
a) $\log_2 x=-3$
$\Leftrightarrow x=2^{-3}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{1}{8}$.
b) $\log_2 (x^2-2x-7) = 3$
$\Leftrightarrow x^2-2x-7=2^3$
$\Leftrightarrow x^2-2x-15=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=5\\x&=-3\end{aligned} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{ -3;5 \}$.
c) $\log_3 (x^2+x-1)=\log_3 (2x+1)$
Điều kiện: $2x+1>0$ $\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}$
Khi đó phương trình tương đương:
$x^2+x-1=2x+1$
$ \Leftrightarrow x^2-x-2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=-1\;\text{(loại)}\\x&=2\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a) $\log_{\sqrt{2}}x+4\log_4 x+\log_8 x=13$.
b) $\log_{\sqrt{2}}(x-1)=\log_2 (3x+1)$.
Giải:
a) $\log_{\sqrt{2}}x+4\log_4 x+\log_8 x=13$
$\Leftrightarrow 2\log_2 x+2\log_2 x+\dfrac{1}{3}\log_2 x=13$
$\Leftrightarrow \log_2 x=3 \Leftrightarrow x=8$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=8$.
b) $\log_{\sqrt{2}}(x-1)=\log_2 (3x+1)$
Điều kiện: $x>1$
Phương trình tương đương:
$\log_2 (x-1)^2=\log_2 (3x+1)$
$\Leftrightarrow x^2-2x+1=3x+1$
$\Leftrightarrow x^2-5x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=0\;\text{(loại)}\\x&=5\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=5$.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
a) $\log_2^2 x+2\log_2 x-3=0$.
b) $\log_3 x -5\log_x 3+4=0$.
Giải:
a) $\log_2^2 x+2\log_2 x-3 =0$
Đặt: $t=\log_2 x$ ta có phương trình:
$t^2+2t-3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\end{aligned} \right.$
Với $t=1$ $\Leftrightarrow \log_2 x=1$ $\Leftrightarrow x=2$
Với $t=-3$ $\Leftrightarrow \log_2 x=-3$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S= \left\{2;\dfrac{1}{8} \right\}$.
b) $\log_3 x-5\log_x 3+4=0$
Điều kiện: $x>0,x\neq 1$
Ta có: $\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x}$, nên đặt $t=\log_3 x,\;(t\neq 0)$ ta có phương trình:
$t-\dfrac{5}{t}+4=0$
$ \Leftrightarrow t^2+4t-5=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-5\end{aligned}\right.$
Với $t=1$ $\Leftrightarrow \log_3 x=1$ $\Leftrightarrow x=3$
Với $t=-5$ $\Leftrightarrow \log_3 x=-5$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{243}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{3; \dfrac{1}{243} \right\}$.
Ví dụ 4: Giải phương trình $\log_2 (4^x+4)=x+\log_2 (2^{x+1}-3)$.
Giải:
Điều kiện: $2^{x+1}-3>0$
Lấy mũ hai vế với cơ số 2 ta được:
$2^{\log_2 (4^x+4)}=2^x.2^{\log_2 (2^{x+1}-3}$
$ \Leftrightarrow 4^x+4=2^x.(2^{x+1}-3)$
Đặt $t=2^x$ $(t>0)$ phương trình trở thành:
$t^2+4=t(2t-3)$
$\Leftrightarrow t^2-3t-4=0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=-1\;\text{(loại)}\\t&=4\end{aligned}\right.$
Với $t=4$ $\Leftrightarrow 2^x=4$ $\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.