Lý thuyết phương trình logarit


Phương trình logarit cơ bản

Dạng: $\log_a x=b$ $(a>0,a \neq 1)$

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất: $x=a^b$

Lưu ý: Với $a>0,a\neq 1$ ta cũng có:

$\log_a f(x)=b$ $\Leftrightarrow f(x)=a^b$

$ \log_a f(x) =\log_a g(x)$ $\Leftrightarrow f(x)=g(x)>0$

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $\log_2 x=-3$.

b) $\log_2 (x^2-2x-7)=3$.

c) $\log_3 (x^2+x-1)=\log_3 (2x+1)$

Giải:

a) $\log_2 x=-3$

$\Leftrightarrow x=2^{-3}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{1}{8}$.

b) $\log_2 (x^2-2x-7) = 3$

$\Leftrightarrow x^2-2x-7=2^3$

$\Leftrightarrow x^2-2x-15=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=5\\x&=-3\end{aligned} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{ -3;5 \}$.

c) $\log_3 (x^2+x-1)=\log_3 (2x+1)$

Điều kiện: $2x+1>0$ $\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}$

Khi đó phương trình tương đương:

$x^2+x-1=2x+1$

$ \Leftrightarrow x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=-1\;\text{(loại)}\\x&=2\end{aligned} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.

Cách giải một số phương trình logarit đơn giản

1) Đưa về cùng cơ số:

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) $\log_{\sqrt{2}}x+4\log_4 x+\log_8 x=13$.

b) $\log_{\sqrt{2}}(x-1)=\log_2 (3x+1)$.

Giải:

a) $\log_{\sqrt{2}}x+4\log_4 x+\log_8 x=13$

$\Leftrightarrow 2\log_2 x+2\log_2 x+\dfrac{1}{3}\log_2 x=13$

$\Leftrightarrow \log_2 x=3 \Leftrightarrow x=8$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=8$.

b) $\log_{\sqrt{2}}(x-1)=\log_2 (3x+1)$

Điều kiện: $x>1$

Phương trình tương đương:

$\log_2 (x-1)^2=\log_2 (3x+1)$

$\Leftrightarrow x^2-2x+1=3x+1$

$\Leftrightarrow x^2-5x=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=0\;\text{(loại)}\\x&=5\end{aligned} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=5$.

2) Đặt ẩn phụ:

Ví dụ 3: Giải phương trình:

a) $\log_2^2 x+2\log_2 x-3=0$.

b) $\log_3 x -5\log_x 3+4=0$.

Giải:

a) $\log_2^2 x+2\log_2 x-3 =0$

Đặt: $t=\log_2 x$ ta có phương trình:

$t^2+2t-3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\end{aligned} \right.$

Với $t=1$ $\Leftrightarrow \log_2 x=1$ $\Leftrightarrow x=2$

Với $t=-3$ $\Leftrightarrow \log_2 x=-3$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S= \left\{2;\dfrac{1}{8} \right\}$.

b) $\log_3 x-5\log_x 3+4=0$

Điều kiện: $x>0,x\neq 1$

Ta có: $\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x}$, nên đặt $t=\log_3 x,\;(t\neq 0)$ ta có phương trình:

$t-\dfrac{5}{t}+4=0$

$ \Leftrightarrow t^2+4t-5=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-5\end{aligned}\right.$

Với $t=1$ $\Leftrightarrow \log_3 x=1$ $\Leftrightarrow x=3$

Với $t=-5$ $\Leftrightarrow \log_3 x=-5$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{243}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{3; \dfrac{1}{243} \right\}$.

3) Mũ hóa:

Ví dụ 4: Giải phương trình $\log_2 (4^x+4)=x+\log_2 (2^{x+1}-3)$.

Giải:

Điều kiện: $2^{x+1}-3>0$

Lấy mũ hai vế với cơ số 2 ta được:

$2^{\log_2 (4^x+4)}=2^x.2^{\log_2 (2^{x+1}-3}$

$ \Leftrightarrow 4^x+4=2^x.(2^{x+1}-3)$

Đặt $t=2^x$ $(t>0)$ phương trình trở thành:

$t^2+4=t(2t-3)$

$\Leftrightarrow t^2-3t-4=0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=-1\;\text{(loại)}\\t&=4\end{aligned}\right.$

Với $t=4$ $\Leftrightarrow 2^x=4$ $\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.

Bình luận

Để lại bình luận

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

error

Nếu thấy hay đừng quên chia sẻ cho mọi người biết với nhé

Follow by Email57
Facebook314
Twitter112
YouTube1k
YouTube
WhatsApp20
Chuyển đến thanh công cụ