Lý thuyết phương trình logarit

---

Phương trình logarit cơ bản

Dạng: $\log_a x=b$ $(a>0,a \neq 1)$

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất: $x=a^b$

Lưu ý: Với $a>0,a\neq 1$ ta cũng có:

$\log_a f(x)=b$ $\Leftrightarrow f(x)=a^b$

$ \log_a f(x) =\log_a g(x)$ $\Leftrightarrow f(x)=g(x)>0$

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $\log_2 x=-3$.

b) $\log_2 (x^2-2x-7)=3$.

c) $\log_3 (x^2+x-1)=\log_3 (2x+1)$

Giải:

a) $\log_2 x=-3$

$\Leftrightarrow x=2^{-3}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{1}{8}$.

b) $\log_2 (x^2-2x-7) = 3$

$\Leftrightarrow x^2-2x-7=2^3$

$\Leftrightarrow x^2-2x-15=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=5\\x&=-3\end{aligned} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{ -3;5 \}$.

c) $\log_3 (x^2+x-1)=\log_3 (2x+1)$

Điều kiện: $2x+1>0$ $\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}$

Khi đó phương trình tương đương:

$x^2+x-1=2x+1$

$ \Leftrightarrow x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=-1\;\text{(loại)}\\x&=2\end{aligned} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.

Cách giải một số phương trình logarit đơn giản

1) Đưa về cùng cơ số:

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) $\log_{\sqrt{2}}x+4\log_4 x+\log_8 x=13$.

b) $\log_{\sqrt{2}}(x-1)=\log_2 (3x+1)$.

Giải:

a) $\log_{\sqrt{2}}x+4\log_4 x+\log_8 x=13$

$\Leftrightarrow 2\log_2 x+2\log_2 x+\dfrac{1}{3}\log_2 x=13$

$\Leftrightarrow \log_2 x=3 \Leftrightarrow x=8$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=8$.

b) $\log_{\sqrt{2}}(x-1)=\log_2 (3x+1)$

Điều kiện: $x>1$

Phương trình tương đương:

$\log_2 (x-1)^2=\log_2 (3x+1)$

$\Leftrightarrow x^2-2x+1=3x+1$

$\Leftrightarrow x^2-5x=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=0\;\text{(loại)}\\x&=5\end{aligned} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=5$.

2) Đặt ẩn phụ:

Ví dụ 3: Giải phương trình:

a) $\log_2^2 x+2\log_2 x-3=0$.

b) $\log_3 x -5\log_x 3+4=0$.

Giải:

a) $\log_2^2 x+2\log_2 x-3 =0$

Đặt: $t=\log_2 x$ ta có phương trình:

$t^2+2t-3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\end{aligned} \right.$

Với $t=1$ $\Leftrightarrow \log_2 x=1$ $\Leftrightarrow x=2$

Với $t=-3$ $\Leftrightarrow \log_2 x=-3$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S= \left\{2;\dfrac{1}{8} \right\}$.

b) $\log_3 x-5\log_x 3+4=0$

Điều kiện: $x>0,x\neq 1$

Ta có: $\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x}$, nên đặt $t=\log_3 x,\;(t\neq 0)$ ta có phương trình:

$t-\dfrac{5}{t}+4=0$

$ \Leftrightarrow t^2+4t-5=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-5\end{aligned}\right.$

Với $t=1$ $\Leftrightarrow \log_3 x=1$ $\Leftrightarrow x=3$

Với $t=-5$ $\Leftrightarrow \log_3 x=-5$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{243}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{3; \dfrac{1}{243} \right\}$.

3) Mũ hóa:

Ví dụ 4: Giải phương trình $\log_2 (4^x+4)=x+\log_2 (2^{x+1}-3)$.

Giải:

Điều kiện: $2^{x+1}-3>0$

Lấy mũ hai vế với cơ số 2 ta được:

$2^{\log_2 (4^x+4)}=2^x.2^{\log_2 (2^{x+1}-3}$

$ \Leftrightarrow 4^x+4=2^x.(2^{x+1}-3)$

Đặt $t=2^x$ $(t>0)$ phương trình trở thành:

$t^2+4=t(2t-3)$

$\Leftrightarrow t^2-3t-4=0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=-1\;\text{(loại)}\\t&=4\end{aligned}\right.$

Với $t=4$ $\Leftrightarrow 2^x=4$ $\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.