Lý thuyết phép tịnh tiến

---

Phép biến hình

Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

• Nếu kí hiệu phép biến hình đó là F thì ta viết : M’=F(M)

• Điểm M’ được gọi là ảnh của M qua phép biến hình F

• Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

Phép tịnh tiến

Định nghĩa phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng, cho véctơ $\overrightarrow{v}$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành duy nhất điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM’}=\overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$. Ký hiệu $T_{\overrightarrow{v}}$

Ta viết: $M’=T_{\overrightarrow v}(M)$ (hoặc viết $M\;\xrightarrow{T_{\overrightarrow v}}\;M’$) và gọi M’ là ảnh của M qua $T_{\overrightarrow v}$

Tính chất:

• Tính chất 1: Gọi M’, N’ là ảnh của M, N qua $T_{\overrightarrow v}$. Khi đó: $\overrightarrow{M’N’}=\overrightarrow{MN}$ nên $M’N’=MN$

• Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính,…

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng Oxy, cho $\overrightarrow v,\; M'(x’,y’)$ là ảnh của $M(x,y)$ qua $T_{\overrightarrow v}$. Khi đó:

$\begin{cases}x’=x+a\\y’=y+b\end{cases}$

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho $\overrightarrow v=(2;-1)$. Ảnh của điểm $M(3;5)$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow v$ là điểm M’ có tọa độ :

$\begin{cases}x’=3+2\\y’=5-1\end{cases}$

Vậy $M'(5;4)$

Ví dụ 2: Xác định ảnh (C’) của đường tròn $(C):\;(x-1)^2+(y+2)^2=5$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow{v}=(2;3)$

Giải:

$(C)$ có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=\sqrt{5}$

Ảnh của $I$ qua $T_{\overrightarrow v}$ là $I'(3;1)$ và cũng là tâm của đường tròn $(C’)$.

Ngoài ra, bán kính của $(C’)$ là: $R’=R=\sqrt{5}$

Vậy $(C’):\;(x-3)^2+(y-1)^2=5$

Ví dụ 3: Xác định ảnh $\Delta’$ của đường thẳng $\Delta:\;2x-y+1=0$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow v=(3;2)$

Giải:

Lấy điểm $M(x_o;y_o)\in \Delta$ tùy ý

Gọi $M'(x_o’;y_o’)=T_{\overrightarrow v}(M)$

Khi đó ta có:

$\begin{cases}x_o=x_o’-3\\y_o=y_o’-2\end{cases}$

Do $M\in\Delta$ nên:

$\begin{aligned}&2x_o-y_o+1=0\\ \Leftrightarrow &2(x_o’-3)-(y_o’-2)+1=0\\ \Leftrightarrow & 2x_o’-y_o’-3=0\end{aligned}$

Vậy $\Delta’:\;2x-y-3=0$