Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Trong mặt phẳng, cho véctơ $\overrightarrow{v}$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành duy nhất điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM’}=\overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$. Ký hiệu $T_{\overrightarrow{v}}$
Ta viết: $M’=T_{\overrightarrow v}(M)$ (hoặc viết $M\;\xrightarrow{T_{\overrightarrow v}}\;M’$) và gọi M’ là ảnh của M qua $T_{\overrightarrow v}$
Trong mặt phẳng Oxy, cho $\overrightarrow v,\; M'(x’,y’)$ là ảnh của $M(x,y)$ qua $T_{\overrightarrow v}$. Khi đó:
$\begin{cases}x’=x+a\\y’=y+b\end{cases}$
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho $\overrightarrow v=(2;-1)$. Ảnh của điểm $M(3;5)$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow v$ là điểm M’ có tọa độ :
$\begin{cases}x’=3+2\\y’=5-1\end{cases}$
Vậy $M'(5;4)$
Ví dụ 2: Xác định ảnh (C’) của đường tròn $(C):\;(x-1)^2+(y+2)^2=5$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow{v}=(2;3)$
Giải:
$(C)$ có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=\sqrt{5}$
Ảnh của $I$ qua $T_{\overrightarrow v}$ là $I'(3;1)$ và cũng là tâm của đường tròn $(C’)$.
Ngoài ra, bán kính của $(C’)$ là: $R’=R=\sqrt{5}$
Vậy $(C’):\;(x-3)^2+(y-1)^2=5$
Ví dụ 3: Xác định ảnh $\Delta’$ của đường thẳng $\Delta:\;2x-y+1=0$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow v=(3;2)$
Giải:
Lấy điểm $M(x_o;y_o)\in \Delta$ tùy ý
Gọi $M'(x_o’;y_o’)=T_{\overrightarrow v}(M)$
Khi đó ta có:
$\begin{cases}x_o=x_o’-3\\y_o=y_o’-2\end{cases}$
Do $M\in\Delta$ nên:
$\begin{aligned}&2x_o-y_o+1=0\\ \Leftrightarrow &2(x_o’-3)-(y_o’-2)+1=0\\ \Leftrightarrow & 2x_o’-y_o’-3=0\end{aligned}$
Vậy $\Delta’:\;2x-y-3=0$