Lý thuyết phép quay

---

Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác $\alpha$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ thỏa mãn điều kiện:

\begin{cases}OM’=OM\\ (OM,OM’)=\alpha\end{cases}

được gọi là phép quay tâm O, góc quay $\alpha$, kí hiệu: $Q_{(O;\alpha)}$

Ta viết: $M’=Q_{(O;\alpha)}(M)$ và nói M’ là ảnh của M qua $Q_{(O;\alpha)}$

Nhận xét:

• Phép quay góc $\alpha=k2\pi$ là phép đồng nhất
• Phép quay góc $\alpha=\pi+k2\pi$ là phép đối xứng tâm

Tính chất của phép quay

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tức là nếu gọi M’, N’ là ảnh của M, N qua phép quay, thì ta có: $M’N’=MN$

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, tia thành tia, góc thành góc bằng nó, tam giác thành tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính…

Lưu ý: Nếu góc quay là $\alpha+k\pi$ $\left(\text{với} -\dfrac{\pi}{2}\leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}\right)$ thì qua phép quay, biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ hợp với d một góc là $|\alpha|$

Biểu thức tọa độ

Gọi $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $M(x;y)$ qua phép quay tâm $O(0;0)$ góc quay $\alpha$ thì ta có:

$\begin{cases}x’=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\y’=x\sin\alpha+y\cos\alpha\end{cases}$

Đặc biệt:

• Nếu $\alpha=90^o$ thì $\begin{cases}x’=-y\\y’=x\end{cases}$

• Nếu $\alpha=-90^o$ thì $\begin{cases}x’=y\\y’=-x\end{cases}$

Ví dụ 1: Ảnh của điểm $A(3;-5)$ qua phép quay tâm O góc quay $\alpha=90^o$ là điểm $A'(5;3)$

Ví dụ 2: Viết phương trình ảnh d’ của đường thẳng $d:2x-3y+1=0$ qua phép quay $Q_{(O;90^o)}$

Giải:

Lấy điểm $M(x_o;y_o)$ là một điểm tùy ý trên d

Gọi $M'(x’_o;y’_o)$ là ảnh của M qua $Q_{O;90^o)}$

Khi đó: $\begin{cases}x_o=y’_o\\y_o=-x’_o\end{cases}$

Do $M\in d$ nên ta có:

$2x_o-3y_o+1=0$

$ \Leftrightarrow 2y’_o-3(-x’_o)+1=0$

$ \Leftrightarrow 3x’_o+2y’_o+1=0$

Vậy $d’:3x+2y+1=0$

Ví dụ 3: Viết phương trình (C’) là ảnh của $(C):(x+1)^2+(y-2)^2=5$ qua $Q_{O;90^o)}$

Giải:

Lấy điểm $M(x_o;y_o)$ là một điểm tùy ý trên (C)

Gọi $M'(x’_o;y’_o)$ là ảnh của M qua $Q_{O;90^o)}$

Khi đó: $\begin{cases}x_o=y’_o\\y_o=-x’_o\end{cases}$

Do $M\in (C)$ nên ta có:

$(C):(x_o+1)^2+(y_o-2)^2=5$

$ \Leftrightarrow (y’_o+1)^2+(-x’_o-2)^2=5$

$ \Leftrightarrow (x’_o+2)^2+(y’_o+1)^2=5$

Vậy $(C’):(x+2)^2+(y+1)^2=5$

Ví dụ 4: viết phương trình (C’) là ảnh của $(C):x^2+y^2-2x+8y-1=0$ qua $Q_{(O;-90^o)}$

Giải:

Lấy điểm $M(x_o;y_o)$ là một điểm tùy ý trên (C)

Gọi $M'(x’_o;y’_o)$ là ảnh của M qua $Q_{O;-90^o)}$

Khi đó: $\begin{cases}x_o=-y’_o\\y_o=x’_o\end{cases}$

Do $M\in (C)$ nên ta có:

$(C):x_o^2+y_o^2-2x_o+8y_o-1=0$

$ \Leftrightarrow (-y’_o)^2+(x’_o)^2-2(-y’_o)+8x’_o-1=0$

$ \Leftrightarrow (x’_o)^2+(y’_o)^2+8x’_o+2y’_o-1=0$

Vậy $(C’):x^2+y^2+8x+2y-1=0$