Lý thuyết phép dời hình và phép đồng dạng

---

Phép dời hình

Định nghĩa

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tức là nếu phép dời hình biến hai điểm $M, N$ thành $M’, N’$ thì: $M’N’=MN$

Tính chất

Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến góc thành góc bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính,…

Nhận xét

• Phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục, đối xứng tâm đều là phép dời hình

• Thực hiện liên tiếp các phép dời hình cho ta một phép dời hình

Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia

Phép đồng dạng

Định nghĩa

Cho số thực $k>0$, phép biến hình biến mỗi cặp điểm $M, N$ thành tương ứng cặp điểm $M’, N’$ thỏa: $M’N’=k.MN$ được gọi là phép đồng dạng tỉ số $k$

Tính chất

Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến góc thành góc bằng nó, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn có bán kính $k.R$,…

Nhận xét

• Các phép dời hình, phép vị tự đều là phép đồng dạng

• Thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng tỉ số $k_1$ và $k_2$ cho ta một phép đồng dạng tỉ số $k_1.k_2$

Hai hình đồng dạng

Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia

Ví dụ 1: Xác định ảnh của đường tròn $(C): (x-2)^2+(y+3)^2=9$ qua phép dời hình được thực hiện liên tiếp bởi $Q_{(O;90^o)}$ và phép tịnh tiến theo véctơ $\vec v=(3;5)$

Giải:

$(C)$ có tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=3$

Ta có:

$I(2;-3)\xrightarrow{Q_{(O;90^o)}}I'(3;2)\xrightarrow{T_{\vec v}}I^”(6;7)$

Vậy $(C^”):(x-6)^2+(y-7)^2=9$

Ví dụ 2: Xác định ảnh của đường thẳng $d:2x+y-3=0$ qua phép đồng dạng được thực hiện liên tiếp bởi $T_{\vec v}$ và $V_{(O;\frac{1}{2})}$ với $\vec v=(3;1)$

Giải:

Lấy $M(x_o;y_o)$ là một điểm tùy ý thuộc $d$

Gọi $M_1(x_1;y_1)$ là ảnh của điểm $M$ qua $T_{\vec v}$

và $M_2(x_2;y_2)$ là ảnh của điểm $M_1$ qua $V_{(O;\frac{1}{2})}$

Ta có:

$\begin{cases}x_1=&x_o+3\\y_1=&y_o+1\end{cases}$ và

$\begin{cases}x_1=2x_2\\y_1=2y_2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_o=&2x_2-3\\y_o=&2y_2-1\end{cases}$

Do $M\in d$ nên ta có:

$2x_o+y_o-3=0$

$\Leftrightarrow 2(2x_2-3)+(2y_2-1)-3=0$

$\Leftrightarrow 4x_2+2y_2-10=0$

$\Leftrightarrow 2x_2+y_2-5=0$

Vậy $d^”: 2x+y-5=0$