Lý thuyết mệnh đề
1. Mệnh đề
– Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Ký hiệu $P, Q, A, B,…$
– Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
– Mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học. Khi không sợ nhầm lẫn ta có thể gọi tắt mệnh đề toán học là mệnh đề (sách cánh diều)
2. Mệnh đề chứa biến
– Ký hiệu mệnh đề chứa biến : $P(n), P(x,y),…$
– Mệnh đề chứa biến không phải là mệnh đề. Tuy nhiên với mỗi giá trị của biến cụ thể cho ta 1 mệnh đề.
3. Phủ định của một mệnh đề
– Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ là $\overline P$.
+ $\overline{P}$ đúng khi $P$ sai.
+ $\overline{P}$ sai khi $P$ đúng.
4. Mệnh đề kéo theo
– Mệnh đề “Nếu $P$ thì $Q$” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu $P\Rightarrow Q.$
– Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ còn được phát biểu là “$P$ kéo theo $Q$” hoặc “Từ $P$ suy ra $Q$”
– Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng $Q$ sai.
– Ta thường chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề $P\Rightarrow Q$ khi $P$ đúng. Khi đó, nếu $Q$ đúng thì $P\Rightarrow Q$ đúng, nếu $Q$ sai thì $P\Rightarrow Q$ sai.
– Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và có dạng $P\Rightarrow Q.$ Khi đó $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận của định lí hoặc $P$ là điều kiện đủ để có $Q$ hoặc $Q$ là điều kiện cần để có $P.$
5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương
– Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q.$
– Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.
– Nếu cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng ta nói $P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương. Kí hiệu $P\Leftrightarrow Q$ đọc là $P$ tương đương $Q$, $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$, hoặc $P$ khi và chỉ khi $Q.$
6. Kí hiệu $\forall ,\text{ }\exists $
– Kí hiệu $\forall$: đọc là với mọi hoặc với tất cả .
– Kí hiệu $\exists$: đọc là có một (tồn tại một) hay có ít nhất một (tồn tại ít nhất một).
– Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in X,P\left( x \right)$” là mệnh đề “$\exists x\in X,\overline{P\left( x \right)}$”
– Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in X,P\left( x \right)$” là mệnh đề “$\forall x\in X,\overline{P\left( x \right)}$”
