Lý thuyết lũy thừa

---

Căn bậc n của một số

Khái niệm:

Cho số thực b và số nguyên dương n ($n\geq 2$). Nghiệm của phương trình $x^n = b$ (nếu có) được gọi là một căn bậc n của b. Một nghiệm trong đó được ký hiệu là $\sqrt[n]{b}$.

Nhận xét: Tùy thuộc vào số nghiệm của phương trình mà ta có 1, 2 hoặc không có căn bậc n của b.

Ví dụ 1:

Có 2 căn bậc 4 của 5 là $\pm \sqrt[4]{5}$ vì $(\pm \sqrt[4]{5})^4 = 5$ (phương trình $x^4 = 5$ có 2 nghiệm phân biệt).

Có 1 căn bậc 3 của -8 là $\sqrt[3]{-8} = -2$ vì $(-2)^3 = -8$ (phương trình $x^3 = -8$ có 1 nghiệm duy nhất).

Không có căn bậc 6 của -10 vì phương trình $x^6 = -10$ vô nghiệm.

Tính chất của căn bậc n

• $\sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a.b}$.

• $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$.

• $\left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}$.

• $\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases}a&\text{khi n lẻ}\\|a|&\text{khi n chẵn}\end{cases}$.

• $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$.

Ví dụ 2: Tính:

a) $\sqrt[3]{4} . \sqrt[3]{16}$

b) $\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}$.

Giải:

a) $\sqrt[3]{4} . \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4.16}$

$=\sqrt[3]{2^6} = \sqrt[3]{4^3} = 4$.

b) $\sqrt{2\sqrt[3]{2 \sqrt[4]{2}}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^4 \sqrt[4]{2}}}$

$ = \sqrt[6]{\sqrt[4]{2^{17}}} = \sqrt[24]{2^{17}}$.

Khái niệm lũy thừa

Lũy thừa là một biểu thức có dạng: $a^\alpha$, trong đó $a$ được gọi là cơ số, $\alpha$ được gọi là số mũ.

Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho $a \in \mathbb R,n \in \mathbb N^*$:

Lũy thừa với số mũ nguyên dương: $a^n = \underbrace{a.a…a}_{n \text{ thừa số}}$

Với \(a\neq 0\) ta có: $\begin{cases}a^0&= 1\\a^{-n}&= \dfrac{1}{a^n}\end{cases}$

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho $m \in \mathbb Z,n \in \mathbb N^*$ và số $a>0$. Khi đó:

$a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}$

Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho $a > 0$ và số vô tỷ $\alpha$. Gọi $(r_n)$ là một dãy số hữu tỉ có $\lim r_n = \alpha$. Khi đó:

$a^\alpha = \lim a^{r_n}$

Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

• $a^\alpha . a^\beta = a^{\alpha+\beta}$.

• $\dfrac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha-\beta}$.

• $\left(a^\alpha\right)^\beta = a^{\alpha\beta}$.

• $a^\alpha.b^\alpha = (ab)^\alpha$.

• $\dfrac{a^\alpha}{b^\alpha} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^\alpha$.

So sánh hai lũy thừa có cùng cơ số

• Nếu $a > 1$ thì $a^\alpha > a^\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta$.

• Nếu $0 < a < 1$ thì $a^\alpha > a^\beta\Leftrightarrow \alpha < \beta$.

So sánh hai lũy thừa có cùng số mũ

Cho $a, b>0$.

• Nếu $\alpha > 0$ thì $a^\alpha > b^\alpha \Leftrightarrow a > b$

• Nếu $\alpha<0$ thì $a^\alpha > b^\alpha \Leftrightarrow a < b$

Các ví dụ

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức:

a) $\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-10}.27^{-3}+(0,2)^{-4}.25^{-2}+128^{-1} . \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-9}$

b) $\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}$.

Giải:

a) $\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-10}. 27^{-3}+(0,2)^{-4}.25^{-2}+128^{-1} . \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-9}$

$= 3^{10} \cdot \dfrac{1}{27^3}+\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-4} \cdot \dfrac{1}{25^2}+\dfrac{1}{128} \cdot 2^9$

$= \dfrac{3^{10}}{3^9}+\dfrac{5^4}{5^4}+\dfrac{2^9}{2^7}$

$= 3+1+2^2 = 8$.

b) Cách 1: $\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}} = \sqrt{2\sqrt[3]{2.2^{\frac{1}{4}}}} $

$= \sqrt{2 . 2^{\frac{5}{12}}} = 2^{\frac{17}{24}} = \sqrt[24]{2^{17}}$.

Cách 2: $\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}} = 2^{\frac{1}{2}}.2^{\frac{1}{6}} . 2^{\frac{1}{24}}$

$ = 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}} = 2^{\frac{17}{24}} = \sqrt[24]{2^{17}}$

Ví dụ 4: Cho $a,b > 0$.Rút gọn biểu thức:

a) $\dfrac{a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+a^{-\frac{3}{4}}}$

b) $\dfrac{a^{2\sqrt{2}}-b^{2\sqrt{3}}}{a^{2\sqrt{2}}-2a^{\sqrt{2}} . b^{\sqrt{3}}+b^{2\sqrt{3}}}+1$.

Giải:

a) $\dfrac{a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+a^{-\frac{3}{4}}}$

$ = \dfrac{a^{-\frac{1}{2}}(a+1)}{a^{-\frac{3}{4}}(a+1)}$

$= \dfrac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$

b) $\dfrac{a^{2\sqrt{2}}-b^{2\sqrt{3}}}{a^{2\sqrt{2}}-2a^{\sqrt{2}} . b^{\sqrt{3}}+b^{2\sqrt{3}}}+1$

$= \dfrac{(a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}}+b^{\sqrt{3}})}{(a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}})^2}+1$

$= \dfrac{a^{\sqrt{2}}+b^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}}}+1$

$= \dfrac{2 a^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}}}$.

Ví dụ 5: So sánh:

a) $2^{3000}$ và $3^{2000}$

b) $(\sqrt{2}-1)^{1900}$ và $(3-2\sqrt{2})^{1000}$.

Giải:

a) Ta có:

$2^{3000} = \left( 2^3 \right)^{1000} = 8^{1000}$

$3^{2000} = \left( 3^2 \right)^{1000} = 9^{1000}$

Mà $8 < 9\Rightarrow 8^{1000} < 9^{1000}$

Kết luận: $2^{3000} < 3^{2000}$

b) Ta có $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$

$ \Rightarrow (3-2\sqrt{2})^{1000} = (\sqrt2-1)^{2000}$

Mà $0 < \sqrt{2}-1 < 1 $

$\Rightarrow (\sqrt{2}-1)^{1900} > (\sqrt{2}-1)^{2000}$.

Kết luận: $(\sqrt{2}-1)^{1900}>(3-2\sqrt{2})^{1000}$