Lý thuyết lũy thừa


Căn bậc n của một số

Khái niệm:

Cho số thực b và số nguyên dương n ($n\geq 2$). Nghiệm của phương trình $x^n = b$ (nếu có) được gọi là một căn bậc n của b. Một nghiệm trong đó được ký hiệu là $\sqrt[n]{b}$.

Nhận xét: Tùy thuộc vào số nghiệm của phương trình mà ta có 1, 2 hoặc không có căn bậc n của b.

Ví dụ 1:

Có 2 căn bậc 4 của 5 là $\pm \sqrt[4]{5}$ vì $(\pm \sqrt[4]{5})^4 = 5$ (phương trình $x^4 = 5$ có 2 nghiệm phân biệt).

Có 1 căn bậc 3 của -8 là $\sqrt[3]{-8} = -2$ vì $(-2)^3 = -8$ (phương trình $x^3 = -8$ có 1 nghiệm duy nhất).

Không có căn bậc 6 của -10 vì phương trình $x^6 = -10$ vô nghiệm.

Tính chất của căn bậc n

  • $\sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a.b}$.
  • $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$.
  • $\left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}$.
  • $\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases}a&\text{khi n lẻ}\\|a|&\text{khi n chẵn}\end{cases}$.
  • $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$.

Ví dụ 2: Tính:

a) $\sqrt[3]{4} . \sqrt[3]{16}$

b) $\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}$.

Giải:

a) $\sqrt[3]{4} . \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4.16}$

$=\sqrt[3]{2^6} = \sqrt[3]{4^3} = 4$.

b) $\sqrt{2\sqrt[3]{2 \sqrt[4]{2}}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^4 \sqrt[4]{2}}}$

$ = \sqrt[6]{\sqrt[4]{2^{17}}} = \sqrt[24]{2^{17}}$.

Khái niệm lũy thừa

Lũy thừa là một biểu thức có dạng: $a^\alpha$, trong đó $a$ được gọi là cơ số, $\alpha$ được gọi là số mũ.

Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho $a \in \mathbb R,n \in \mathbb N^*$:

Lũy thừa với số mũ nguyên dương: $a^n = \underbrace{a.a…a}_{n \text{ thừa số}}$

Với \(a\neq 0\) ta có: $\begin{cases}a^0&= 1\\a^{-n}&= \dfrac{1}{a^n}\end{cases}$

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho $m \in \mathbb Z,n \in \mathbb N^*$ và số $a>0$. Khi đó:

$a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}$

Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho $a > 0$ và số vô tỷ $\alpha$. Gọi $(r_n)$ là một dãy số hữu tỉ có $\lim r_n = \alpha$. Khi đó:

$a^\alpha = \lim a^{r_n}$

Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

  • $a^\alpha . a^\beta = a^{\alpha+\beta}$.
  • $\dfrac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha-\beta}$.
  • $\left(a^\alpha\right)^\beta = a^{\alpha\beta}$.
  • $a^\alpha.b^\alpha = (ab)^\alpha$.
  • $\dfrac{a^\alpha}{b^\alpha} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^\alpha$.

So sánh hai lũy thừa có cùng cơ số

  • Nếu $a > 1$ thì $a^\alpha > a^\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta$.
  • Nếu $0 < a < 1$ thì $a^\alpha > a^\beta\Leftrightarrow \alpha < \beta$.

So sánh hai lũy thừa có cùng số mũ

Cho $a, b>0$.

  • Nếu $\alpha > 0$ thì $a^\alpha > b^\alpha \Leftrightarrow a > b$
  • Nếu $\alpha<0$ thì $a^\alpha > b^\alpha \Leftrightarrow a < b$

Các ví dụ

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức:

a) $\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-10}.27^{-3}+(0,2)^{-4}.25^{-2}+128^{-1} . \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-9}$

b) $\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}$.

Giải:

a) $\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-10}. 27^{-3}+(0,2)^{-4}.25^{-2}+128^{-1} . \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-9}$

$= 3^{10} \cdot \dfrac{1}{27^3}+\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-4} \cdot \dfrac{1}{25^2}+\dfrac{1}{128} \cdot 2^9$

$= \dfrac{3^{10}}{3^9}+\dfrac{5^4}{5^4}+\dfrac{2^9}{2^7}$

$= 3+1+2^2 = 8$.

b) Cách 1: $\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}} = \sqrt{2\sqrt[3]{2.2^{\frac{1}{4}}}} $

$= \sqrt{2 . 2^{\frac{5}{12}}} = 2^{\frac{17}{24}} = \sqrt[24]{2^{17}}$.

Cách 2: $\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}} = 2^{\frac{1}{2}}.2^{\frac{1}{6}} . 2^{\frac{1}{24}}$

$ = 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}} = 2^{\frac{17}{24}} = \sqrt[24]{2^{17}}$

Ví dụ 4: Cho $a,b > 0$.Rút gọn biểu thức:

a) $\dfrac{a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+a^{-\frac{3}{4}}}$

b) $\dfrac{a^{2\sqrt{2}}-b^{2\sqrt{3}}}{a^{2\sqrt{2}}-2a^{\sqrt{2}} . b^{\sqrt{3}}+b^{2\sqrt{3}}}+1$.

Giải:

a) $\dfrac{a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+a^{-\frac{3}{4}}}$

$ = \dfrac{a^{-\frac{1}{2}}(a+1)}{a^{-\frac{3}{4}}(a+1)}$

$= \dfrac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$

b) $\dfrac{a^{2\sqrt{2}}-b^{2\sqrt{3}}}{a^{2\sqrt{2}}-2a^{\sqrt{2}} . b^{\sqrt{3}}+b^{2\sqrt{3}}}+1$

$= \dfrac{(a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}}+b^{\sqrt{3}})}{(a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}})^2}+1$

$= \dfrac{a^{\sqrt{2}}+b^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}}}+1$

$= \dfrac{2 a^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}}}$.

Ví dụ 5: So sánh:

a) $2^{3000}$ và $3^{2000}$

b) $(\sqrt{2}-1)^{1900}$ và $(3-2\sqrt{2})^{1000}$.

Giải:

a) Ta có:

$2^{3000} = \left( 2^3 \right)^{1000} = 8^{1000}$

$3^{2000} = \left( 3^2 \right)^{1000} = 9^{1000}$

Mà $8 < 9\Rightarrow 8^{1000} < 9^{1000}$

Kết luận: $2^{3000} < 3^{2000}$

b) Ta có $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$

$ \Rightarrow (3-2\sqrt{2})^{1000} = (\sqrt2-1)^{2000}$

Mà $0 < \sqrt{2}-1 < 1 $

$\Rightarrow (\sqrt{2}-1)^{1900} > (\sqrt{2}-1)^{2000}$.

Kết luận: $(\sqrt{2}-1)^{1900}>(3-2\sqrt{2})^{1000}$

Bình luận

Để lại bình luận

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

error

Nếu thấy hay đừng quên chia sẻ cho mọi người biết với nhé

Follow by Email57
Facebook314
Twitter112
YouTube1k
YouTube
WhatsApp20
Chuyển đến thanh công cụ