Lý thuyết logarit

---

Định nghĩa:

Cho hai số thực dương $a$, $b$ và $a \neq 1$. Số $\alpha$ thỏa mãn đẳng thức $a^\alpha = b$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $b$ và ký hiệu là $\log_a b$.

Như vậy, với $a, b > 0$, $a\neq 1$, $\alpha \in \mathbb R$ ta có:

$a^\alpha = b \Leftrightarrow \alpha = \log_a b$

Ví dụ 1:

Vì $2^3 = 8$ nên ta có: $\log_2 8 = 3$.

Vì $5^1 = 5$ nên ta có: $\log_5 5 = 1$.

Vì $7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$ nên ta có: $\log_7 \sqrt{7} = \dfrac{1}{2}$.

Vì $3^0 = 1$ nên ta có: $\log_3 1 = 0$.

Các tính chất của logarit

Cho $a,b,c>0$; $a\neq 1$, ta có các tính chất sau:

1) $\log_a 1 =0$.

2) $\log_a a = 1$.

3) $a^{\log_a b} = b$ (lũy thừa của logarit cùng cơ số thì triệt tiêu)

4) $\log_a(a^\alpha) = \alpha$ (logarit của lũy thừa cùng cơ số thì triệt tiêu)

5) $\log_a b+\log_a c = \log_a(b.c)$.

6) $\log_a b -\log_a c = \log_a\dfrac{b}{c}$.

6′) $\log_a\dfrac{1}{b} = -\log_a b$.

7) $\log_a b^\alpha=\alpha\log_a b$.

8) $\log_{a^\alpha} b = \dfrac{1}{\alpha}\log_a b$.

9) $\log_c b=\dfrac{\log_a b}{\log_a c}$ hoặc nói $\log_a c.\log_c b=\log_a b$ với $c\neq 1$

9′) $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$ với $b\neq 1$

Lưu ý:

• $\log_a x^{2n}=2n.\log_a |x|$ vì điều kiện ban đầu là $x\neq 0$ chứ không phải là $x>0$.

• $\log_a (x.y)=\log_a |x|+\log_a |y|$ vì điều kiện ban đầu là $x.y>0$.

Quy tắc tính logarit

Dựa vào các tính chất của logarit, để tính giá trị các logarit hoặc các bài toán khác có liên quan đến logarit, ta cần đưa chúng về cùng một cơ số (kể cả là cơ số của lũy thừa)

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức

a) $\log_2\dfrac{1}{32}=\log_2{2^{-5}}=-5$.

b) $\log_9 27=\log_{3^2}3^3$ $=\dfrac{3}{2}\log_3 3$ $=\dfrac{3}{2}$.

c) $3^{\log_9 4+\log_3 5}$ $=3^{\log_{3^2}2^2}.3^{\log_3 5}$ $=3^{\log_3 2}.5=2.5=10$.

d) $\log_2 5.\log_3 8.\log_5 3$ $=(\log_2 5.\log_5 3).\log_3 8$ $=\log_2 3.\log_3 8$ $=\log_2 8=3$.

e) $\log_3 6+\log_{\sqrt{3}}2-\log_{\sqrt[3]3}{18}$ $=\log_3 6+2\log_3 2-3\log_3 18$ $=\log_3 \dfrac{6.2^2}{18^3}$ $=\log_3 \dfrac{1}{243}$ $=-\log_3 3^5=-5$

So sánh hai logarit có cùng cơ số

Nếu $a>1$ thì: $\log_a b< \log_a c \Leftrightarrow 0<b < c$.

Nếu $0<a<1$ thì: $\log_a b < \log_a c \Leftrightarrow b > c > 0$.

Ví dụ 3: So sánh các giá trị sau:

a) $\log_9 15$ và $\log_{27} 13$.

b) $\log_5 7$ và $\log_{17}11$.

c) $\log_{0,3} 5$ và $\log_{0,7} 0,9$.

Giải:

a) $\log_9 15$ và $\log_{27} 13$

Ta có: $\log_9 15=\log_{3^2}15$ $=\dfrac{1}{2}\log_3 15$ $=\log_3 \sqrt{15}$.

Mặt khác: $\log_{27} 13=\log_{3^3}13$ $=\dfrac{1}{3}\log_3 13$ $=\log_3\sqrt[3]{13}$.

Mà cơ số $3>1$ và $\sqrt{15}>\sqrt[3]{13}$ nên $\log_9 15>\log_27 13$.

b) $\log_5 7$ và $\log_{17}11$

Ta có: $\log_5 7>\log_5 5=1$

Mà: $\log_{17}11<\log_{17}17=1$

Nên: $\log_5 7>\log_{17}11$

c) $\log_{0,3} 5$ và $\log_{0,7} 0,9$

Ta có: $\log_{0,3} 5<\log_{0,3}1=0$

Mà: $\log_{0,7} 0,9>\log_{0,7}1=0$

Nên: $\log_{0,3} 5<\log_{0,7} 0,9$

Nhận xét:

• Nếu $a >1,b >1$ hoặc $0<a<1,0<b<1$ thì $\log_a b >0$.

• Nếu $a >1,0<b<1$ hoặc $0<a<1,b>1$ thì $\log_a b < 0$

• Nếu $1<a<b$ thì $\log_a b>1$.

• Nếu $1<b<a$ thì $0<\log_a b < 1$

Logarit có cơ số đặc biệt

• $\log b = \lg b = \log_{10} b$: được gọi là logarit thập phân

• $\ln b = \log_e b$: được gọi là logarit tự nhiên (hoặc còn gọi là logarit Ne-pe)

Với:

$e =\lim\limits_{n\to + \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ $ \approx 2,718…$