Lý thuyết hàm số mũ và hàm số logarit

Hàm số mũ

Định nghĩa

Cho số thực $a>0,a\neq 1$

Hàm số $y =a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$.

Đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số $y = a^x$ với $a > 0, a \neq 1$ có đạo hàm trên $\mathbb R$ và:

• $(e^x)’ = e^x$

• $(a^x)’ = a^x.\ln a$

Với $u = u(x)$ ta có:

• $(e^u)’ = u’.e^u$

• $(a^u)’ = u’.a^u.\ln a$

Tính chất của hàm số $y = a^x$ $(a > 0,a \neq 1)$

Tập xác định: $D = \mathbb R$.

Tập giá trị: $(0; +\infty)$, tức là $y = a^x > 0$ $\forall x\in \mathbb R$.

Tính đơn điệu: Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb R$ nếu $a > 1$ và luôn nghịch biến trên $\mathbb R$ nếu $0 < a < 1$.

Đồ thị hàm số: nhận trục $Ox$ làm tiệm cận ngang; luôn đi qua $A(0;1)$ và $B(1;a)$ ; đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành.

Hàm số logarit

Định nghĩa

Cho số thực $a > 0,a \neq 1$

Hàm số $y = \log_a x$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$.

Đạo hàm của hàm số logarit

Hàm số $y = \log_a x$ có đạo hàm trên $(0; +\infty)$ và:

$(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$

$(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x\ln a}$

Với $u = u(x)$ thỏa điều kiện $u(x) > 0$ ta có:

$(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}$

$(\log_a u)’ = \dfrac{u’}{u\ln a}$

Lưu ý: Với $x\neq 0$ ta cũng có:

$(\ln |x|)’ = \dfrac{1}{x}$

$(\log_a |x|)’ = \dfrac{1}{x\ln a}$

Tính chất của hàm số $y = \log_a x$ $(a > 0,a \neq 1)$

Tập xác định: $D = (0; +\infty)$

Tập giá trị: $\mathbb R$

Tính đơn điệu: Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb R$ nếu $a > 1$ và luôn nghịch biến trên $\mathbb R$ nếu $0<a<1$.

Đồ thị hàm số: nhận trục $Oy$ làm tiệm cận đứng; luôn đi qua $A(1;0)$ và $B(a;1)$; đồ thị luôn nằm bên phải trục $Oy$

Nhận xét: Đồ thị các hàm số $y=a^x$ và $y=\log_a x$ ( với $a>0$, $a\neq 1$) luôn đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$

Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \log_4(2x-1)$.

b) $y = \ln (4x-x^2)$.

c) $\sqrt{\log_{0,3}(2x-1)}$.

Giải:

a) $y=\log_4(2x-1)$

Điều kiện xác định: $2x-1>0$ $\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}$

Vậy tập xác định của hàm số: $D=\left( \dfrac{1}{2}; + \infty \right)$.

b) $y=\ln (4x-x^2)$

Điều kiện xác định: $4x-x^2 > 0$ $\Leftrightarrow 0<x<4$

Vậy tập xác định của hàm số: $D=(0;4)$.

c) $\sqrt{\log_{0,3}(2x-1)}$

Điều kiện xác định: $\begin{cases}2x-1&>0\\ \log_{0,3}(2x-1)&\geq 0 \end{cases} $

$\Leftrightarrow 0<2x-1\leq 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<x\leq 1$

Vậy tập xác định của hàm số: $D=\left( \dfrac{1}{2};1 \right]$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x.e^x$.

b) $y=2^{x^2+x-2}$.

c) $y=\log (x^2-2x+3)$.

d) $y=x^x$.

Giải:

a) $y=x.e^x$

$y’=x’.e^x+x.(e^x)’$ $=e^x+x.e^x=e^x(1+x)$

b) $y=2^{x^2+x-2}$

$\begin{aligned}y’&=(x^2+x-2)’.2^{x^2+x-2}.\ln 2 \\ &= (2x+1).2^{x^2+x-2}.\ln 2\end{aligned}$

c) $y=\log (x^2-2x+3)$

$\begin{aligned}y’ &=\dfrac{(x^2-2x+3)’}{(x^2-2x+3).\ln 10}\\ &=\dfrac{2x-2}{(x^2-2x+3).\ln 10}\end{aligned}$

d) $y=x^x=e^{\ln x^x}$ $=e^{x\ln x}$

$y’=(x\ln x)’.e^{x\ln x}$ $=(\ln x+1).x^x$

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số $y=\log_5(x^2+2x+m+3)$ có tập xác định là $\mathbb R$

Giải:

Để hàm số có tập xác định là $\mathbb R$ thì:

$x^2+2x+m+3>0$ $\forall x \in \mathbb R$

$\Leftrightarrow \Delta’ < 0$ $\Leftrightarrow 1-(m+3)<0$ $\Leftrightarrow m >-2$