Lý thuyết hàm số mũ và hàm số logarit

Hàm số mũ

Định nghĩa

Cho số thực $a>0,a\neq 1$

Hàm số $y =a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$.

Đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số $y = a^x$ với $a > 0, a \neq 1$ có đạo hàm trên $\mathbb R$ và:

  • $(e^x)’ = e^x$
  • $(a^x)’ = a^x.\ln a$

Với $u = u(x)$ ta có:

  • $(e^u)’ = u’.e^u$
  • $(a^u)’ = u’.a^u.\ln a$

Tính chất của hàm số $y = a^x$ $(a > 0,a \neq 1)$

Tập xác định: $D = \mathbb R$.

Tập giá trị: $(0; +\infty)$, tức là $y = a^x > 0$ $\forall x\in \mathbb R$.

Tính đơn điệu: Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb R$ nếu $a > 1$ và luôn nghịch biến trên $\mathbb R$ nếu $0 < a < 1$.

Đồ thị hàm số: nhận trục $Ox$ làm tiệm cận ngang; luôn đi qua $A(0;1)$ và $B(1;a)$ ; đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành.

ham-so-mu-ham-so-logarit-01
ham-so-mu-ham-so-logarit-02

Hàm số logarit

Định nghĩa

Cho số thực $a > 0,a \neq 1$

Hàm số $y = \log_a x$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$.

Đạo hàm của hàm số logarit

Hàm số $y = \log_a x$ có đạo hàm trên $(0; +\infty)$ và:

$(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$

$(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x\ln a}$

Với $u = u(x)$ thỏa điều kiện $u(x) > 0$ ta có:

$(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}$

$(\log_a u)’ = \dfrac{u’}{u\ln a}$

Lưu ý: Với $x\neq 0$ ta cũng có:

$(\ln |x|)’ = \dfrac{1}{x}$

$(\log_a |x|)’ = \dfrac{1}{x\ln a}$

Tính chất của hàm số $y = \log_a x$ $(a > 0,a \neq 1)$

Tập xác định: $D = (0; +\infty)$

Tập giá trị: $\mathbb R$

Tính đơn điệu: Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb R$ nếu $a > 1$ và luôn nghịch biến trên $\mathbb R$ nếu $0<a<1$.

Đồ thị hàm số: nhận trục $Oy$ làm tiệm cận đứng; luôn đi qua $A(1;0)$ và $B(a;1)$; đồ thị luôn nằm bên phải trục $Oy$

ham-so-mu-ham-so-logarit-03
ham-so-mu-ham-so-logarit-04

Nhận xét: Đồ thị các hàm số $y=a^x$ và $y=\log_a x$ ( với $a>0$, $a\neq 1$) luôn đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$

Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \log_4(2x-1)$.

b) $y = \ln (4x-x^2)$.

c) $\sqrt{\log_{0,3}(2x-1)}$.

Giải:

a) $y=\log_4(2x-1)$

Điều kiện xác định: $2x-1>0$ $\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}$

Vậy tập xác định của hàm số: $D=\left( \dfrac{1}{2}; + \infty \right)$.

b) $y=\ln (4x-x^2)$

Điều kiện xác định: $4x-x^2 > 0$ $\Leftrightarrow 0<x<4$

Vậy tập xác định của hàm số: $D=(0;4)$.

c) $\sqrt{\log_{0,3}(2x-1)}$

Điều kiện xác định: $\begin{cases}2x-1&>0\\ \log_{0,3}(2x-1)&\geq 0 \end{cases} $

$\Leftrightarrow 0<2x-1\leq 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<x\leq 1$

Vậy tập xác định của hàm số: $D=\left( \dfrac{1}{2};1 \right]$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x.e^x$.

b) $y=2^{x^2+x-2}$.

c) $y=\log (x^2-2x+3)$.

d) $y=x^x$.

Giải:

a) $y=x.e^x$

$y’=x’.e^x+x.(e^x)’$ $=e^x+x.e^x=e^x(1+x)$

b) $y=2^{x^2+x-2}$

$\begin{aligned}y’&=(x^2+x-2)’.2^{x^2+x-2}.\ln 2 \\ &= (2x+1).2^{x^2+x-2}.\ln 2\end{aligned}$

c) $y=\log (x^2-2x+3)$

$\begin{aligned}y’ &=\dfrac{(x^2-2x+3)’}{(x^2-2x+3).\ln 10}\\ &=\dfrac{2x-2}{(x^2-2x+3).\ln 10}\end{aligned}$

d) $y=x^x=e^{\ln x^x}$ $=e^{x\ln x}$

$y’=(x\ln x)’.e^{x\ln x}$ $=(\ln x+1).x^x$

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số $y=\log_5(x^2+2x+m+3)$ có tập xác định là $\mathbb R$

Giải:

Để hàm số có tập xác định là $\mathbb R$ thì:

$x^2+2x+m+3>0$ $\forall x \in \mathbb R$

$\Leftrightarrow \Delta’ < 0$ $\Leftrightarrow 1-(m+3)<0$ $\Leftrightarrow m >-2$

Bình luận

Để lại bình luận

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

error

Nếu thấy hay đừng quên chia sẻ cho mọi người biết với nhé

Follow by Email57
Facebook314
Twitter112
YouTube1k
YouTube
WhatsApp20
Chuyển đến thanh công cụ