Cho số thực $a>0,a\neq 1$
Hàm số $y =a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$.
Hàm số $y = a^x$ với $a > 0, a \neq 1$ có đạo hàm trên $\mathbb R$ và:
Với $u = u(x)$ ta có:
Tập xác định: $D = \mathbb R$.
Tập giá trị: $(0; +\infty)$, tức là $y = a^x > 0$ $\forall x\in \mathbb R$.
Tính đơn điệu: Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb R$ nếu $a > 1$ và luôn nghịch biến trên $\mathbb R$ nếu $0 < a < 1$.
Đồ thị hàm số: nhận trục $Ox$ làm tiệm cận ngang; luôn đi qua $A(0;1)$ và $B(1;a)$ ; đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành.
Cho số thực $a > 0,a \neq 1$
Hàm số $y = \log_a x$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$.
Hàm số $y = \log_a x$ có đạo hàm trên $(0; +\infty)$ và:
$(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$
$(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x\ln a}$
Với $u = u(x)$ thỏa điều kiện $u(x) > 0$ ta có:
$(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}$
$(\log_a u)’ = \dfrac{u’}{u\ln a}$
Lưu ý: Với $x\neq 0$ ta cũng có:
$(\ln |x|)’ = \dfrac{1}{x}$
$(\log_a |x|)’ = \dfrac{1}{x\ln a}$
Tập xác định: $D = (0; +\infty)$
Tập giá trị: $\mathbb R$
Tính đơn điệu: Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb R$ nếu $a > 1$ và luôn nghịch biến trên $\mathbb R$ nếu $0<a<1$.
Đồ thị hàm số: nhận trục $Oy$ làm tiệm cận đứng; luôn đi qua $A(1;0)$ và $B(a;1)$; đồ thị luôn nằm bên phải trục $Oy$
Nhận xét: Đồ thị các hàm số $y=a^x$ và $y=\log_a x$ ( với $a>0$, $a\neq 1$) luôn đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = \log_4(2x-1)$.
b) $y = \ln (4x-x^2)$.
c) $\sqrt{\log_{0,3}(2x-1)}$.
Giải:
a) $y=\log_4(2x-1)$
Điều kiện xác định: $2x-1>0$ $\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}$
Vậy tập xác định của hàm số: $D=\left( \dfrac{1}{2}; + \infty \right)$.
b) $y=\ln (4x-x^2)$
Điều kiện xác định: $4x-x^2 > 0$ $\Leftrightarrow 0<x<4$
Vậy tập xác định của hàm số: $D=(0;4)$.
c) $\sqrt{\log_{0,3}(2x-1)}$
Điều kiện xác định: $\begin{cases}2x-1&>0\\ \log_{0,3}(2x-1)&\geq 0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow 0<2x-1\leq 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<x\leq 1$
Vậy tập xác định của hàm số: $D=\left( \dfrac{1}{2};1 \right]$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y=x.e^x$.
b) $y=2^{x^2+x-2}$.
c) $y=\log (x^2-2x+3)$.
d) $y=x^x$.
Giải:
a) $y=x.e^x$
$y’=x’.e^x+x.(e^x)’$ $=e^x+x.e^x=e^x(1+x)$
b) $y=2^{x^2+x-2}$
$\begin{aligned}y’&=(x^2+x-2)’.2^{x^2+x-2}.\ln 2 \\ &= (2x+1).2^{x^2+x-2}.\ln 2\end{aligned}$
c) $y=\log (x^2-2x+3)$
$\begin{aligned}y’ &=\dfrac{(x^2-2x+3)’}{(x^2-2x+3).\ln 10}\\ &=\dfrac{2x-2}{(x^2-2x+3).\ln 10}\end{aligned}$
d) $y=x^x=e^{\ln x^x}$ $=e^{x\ln x}$
$y’=(x\ln x)’.e^{x\ln x}$ $=(\ln x+1).x^x$
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số $y=\log_5(x^2+2x+m+3)$ có tập xác định là $\mathbb R$
Giải:
Để hàm số có tập xác định là $\mathbb R$ thì:
$x^2+2x+m+3>0$ $\forall x \in \mathbb R$
$\Leftrightarrow \Delta’ < 0$ $\Leftrightarrow 1-(m+3)<0$ $\Leftrightarrow m >-2$