Lý thuyết hàm số lũy thừa


Khái niệm hàm số lũy thừa

Dạng: $y=x^\alpha$ với $\alpha\in\mathbb R$

Lưu ý: Tập xác định của hàm số $y=x^\alpha$ tùy thuộc vào giá trị của $\alpha$. Cụ thể:

  • Với $\alpha$ nguyên dương, tập xác định là $\mathbb R$.
  • Với $\alpha$ nguyên âm hoặc bằng $0$, tập xác định là $\mathbb R\setminus\{0\}$.
  • Với $\alpha$ không nguyên, tập xác định là $(0;+\infty)$.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số:

a) $y=(x^2+3x-1)^5$.

b) $y=(x^2+2x-3)^{-3}$.

c) $y=(x-1)^{\frac{1}{3}}$.

Giải:

a) $y=(x^2+3x-1)^5$

Vì số mũ của hàm số là một số nguyên dương, mà biểu thức $y=x^2+3x-1$ luôn có nghĩa với mọi $x\in\mathbb R$ nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb R$.

b) $y=(x^2+2x-3)^{-3}$

Vì số mũ của hàm số là một số nguyên âm, nên điều kiện để hàm số có nghĩa là:

$x^2+2x-3\neq 0$ $\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq 1\\x\neq -3\end{cases}$

Do đó tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb R\setminus\{-3;1\}$.

c) $y=(x-1)^{\frac{1}{3}}$

Vì số mũ của hàm số là một số không nguyên, nên điều kiện để hàm số có nghĩa là:

$x-1>0$ $\Leftrightarrow x>1$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=(1;+\infty)$.

Lưu ý: $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ chỉ khi $x>0$

Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Cho hàm số $y=x^\alpha$ $(\alpha\in\mathbb R)$ có tập xác định $D$

Khi đó: $y’=(x^\alpha)’=\alpha.x^{\alpha-1}$ với mọi $x\in D$

Với $u=u(x)$ thỏa điều kiện tương ứng với $\alpha$ thì:

$(u^\alpha)’=\alpha.u^{\alpha-1}.u’$.

Nhận xét: $(\sqrt[n]{x})’=\dfrac{1}{n.\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ $(x \neq 0)$

Ví dụ 2:

a) $(x^{-1})’=-1.x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$ $(x\neq 0)$.

b) $(x^{\sqrt{2}})’=\sqrt{2}.x^{\sqrt{2}-1}$ $(x>0)$.

c) $(\sqrt[3]{x})’=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ $(x\neq 0)$.

d) $(\sqrt[4]{x})’=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$ $(x>0)$.

e) $\left((3x-1)^{\frac{2}{3}}\right)’=\dfrac{2}{3}.(3x-1)^{-\frac{1}{3}}.(3x-1)’$

$=\dfrac{2}{\sqrt[3]{3x-1}}$ $(x>\dfrac{2}{3})$.

f) $( \sqrt[5]{x^2+2x-3})’ = \dfrac{(x^2+2x-3)’}{5. \sqrt[5]{(x^2+2x-3)^4}}$

$= \dfrac{2x+2}{5 \sqrt[5]{(x^2+2x-3)^4}}$ $(x \in \mathbb R \setminus \{ -3;1 \})$.

Khảo sát hàm số lũy thừa \(y = x^\alpha\)

Xét hàm số $y=x^\alpha$ trên $(0;+\infty)$ ta có bảng tóm tắt sau:

ham-so-luy-thua-01

Hình dáng đồ thị hàm số $y=x^\alpha$ trên $(0;+\infty)$

ham-so-luy-thua-02

Lưu ý: Khi khảo sát một hàm số cụ thể, ta cần phải khảo sát trên tập xác định của nó

Ví dụ 3: Khảo sát đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=x^{-2}$.

b) $y=x^{\frac{1}{3}}$.

Giải:

a) $y=x^{-2}$

Tập xác định: $D=\mathbb R\setminus \{0\}$

$y’=-2.x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}$.

Bảng biến thiên:

ham-so-luy-thua-03

Đồ thị:

ham-so-luy-thua-04

b) $y=x^{\frac{1}{3}}$

Tập xác định: $D=(0;+\infty)$

$y’=\dfrac{1}{3} . x^{-\frac{2}{3}}$ $=\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}>0$ $\forall x \in (0;+\infty)$

Bảng biến thiên:

ham-so-luy-thua-05

Đồ thị:

ham-so-luy-thua-06
Bình luận

Để lại bình luận

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

error

Nếu thấy hay đừng quên chia sẻ cho mọi người biết với nhé

Follow by Email57
Facebook314
Twitter112
YouTube1k
YouTube
WhatsApp20
Chuyển đến thanh công cụ