Lý thuyết hàm số lũy thừa

---

Khái niệm hàm số lũy thừa

Dạng: $y=x^\alpha$ với $\alpha\in\mathbb R$

Lưu ý: Tập xác định của hàm số $y=x^\alpha$ tùy thuộc vào giá trị của $\alpha$. Cụ thể:

• Với $\alpha$ nguyên dương, tập xác định là $\mathbb R$.

• Với $\alpha$ nguyên âm hoặc bằng $0$, tập xác định là $\mathbb R\setminus\{0\}$.

• Với $\alpha$ không nguyên, tập xác định là $(0;+\infty)$.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số:

a) $y=(x^2+3x-1)^5$.

b) $y=(x^2+2x-3)^{-3}$.

c) $y=(x-1)^{\frac{1}{3}}$.

Giải:

a) $y=(x^2+3x-1)^5$

Vì số mũ của hàm số là một số nguyên dương, mà biểu thức $y=x^2+3x-1$ luôn có nghĩa với mọi $x\in\mathbb R$ nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb R$.

b) $y=(x^2+2x-3)^{-3}$

Vì số mũ của hàm số là một số nguyên âm, nên điều kiện để hàm số có nghĩa là:

$x^2+2x-3\neq 0$ $\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq 1\\x\neq -3\end{cases}$

Do đó tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb R\setminus\{-3;1\}$.

c) $y=(x-1)^{\frac{1}{3}}$

Vì số mũ của hàm số là một số không nguyên, nên điều kiện để hàm số có nghĩa là:

$x-1>0$ $\Leftrightarrow x>1$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=(1;+\infty)$.

Lưu ý: $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ chỉ khi $x>0$

Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Cho hàm số $y=x^\alpha$ $(\alpha\in\mathbb R)$ có tập xác định $D$

Khi đó: $y’=(x^\alpha)’=\alpha.x^{\alpha-1}$ với mọi $x\in D$

Với $u=u(x)$ thỏa điều kiện tương ứng với $\alpha$ thì:

$(u^\alpha)’=\alpha.u^{\alpha-1}.u’$.

Nhận xét: $(\sqrt[n]{x})’=\dfrac{1}{n.\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ $(x \neq 0)$

Ví dụ 2:

a) $(x^{-1})’=-1.x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$ $(x\neq 0)$.

b) $(x^{\sqrt{2}})’=\sqrt{2}.x^{\sqrt{2}-1}$ $(x>0)$.

c) $(\sqrt[3]{x})’=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ $(x\neq 0)$.

d) $(\sqrt[4]{x})’=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$ $(x>0)$.

e) $\left((3x-1)^{\frac{2}{3}}\right)’=\dfrac{2}{3}.(3x-1)^{-\frac{1}{3}}.(3x-1)’$

$=\dfrac{2}{\sqrt[3]{3x-1}}$ $(x>\dfrac{2}{3})$.

f) $( \sqrt[5]{x^2+2x-3})’ = \dfrac{(x^2+2x-3)’}{5. \sqrt[5]{(x^2+2x-3)^4}}$

$= \dfrac{2x+2}{5 \sqrt[5]{(x^2+2x-3)^4}}$ $(x \in \mathbb R \setminus \{ -3;1 \})$.

Khảo sát hàm số lũy thừa \(y = x^\alpha\)

Xét hàm số $y=x^\alpha$ trên $(0;+\infty)$ ta có bảng tóm tắt sau:

Hình dáng đồ thị hàm số $y=x^\alpha$ trên $(0;+\infty)$

Lưu ý: Khi khảo sát một hàm số cụ thể, ta cần phải khảo sát trên tập xác định của nó

Ví dụ 3: Khảo sát đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=x^{-2}$.

b) $y=x^{\frac{1}{3}}$.

Giải:

a) $y=x^{-2}$

Tập xác định: $D=\mathbb R\setminus \{0\}$

$y’=-2.x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) $y=x^{\frac{1}{3}}$

Tập xác định: $D=(0;+\infty)$

$y’=\dfrac{1}{3} . x^{-\frac{2}{3}}$ $=\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}>0$ $\forall x \in (0;+\infty)$

Bảng biến thiên:

Đồ thị: