Dạng: $y=x^\alpha$ với $\alpha\in\mathbb R$
Lưu ý: Tập xác định của hàm số $y=x^\alpha$ tùy thuộc vào giá trị của $\alpha$. Cụ thể:
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số:
a) $y=(x^2+3x-1)^5$.
b) $y=(x^2+2x-3)^{-3}$.
c) $y=(x-1)^{\frac{1}{3}}$.
Giải:
a) $y=(x^2+3x-1)^5$
Vì số mũ của hàm số là một số nguyên dương, mà biểu thức $y=x^2+3x-1$ luôn có nghĩa với mọi $x\in\mathbb R$ nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb R$.
b) $y=(x^2+2x-3)^{-3}$
Vì số mũ của hàm số là một số nguyên âm, nên điều kiện để hàm số có nghĩa là:
$x^2+2x-3\neq 0$ $\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq 1\\x\neq -3\end{cases}$
Do đó tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb R\setminus\{-3;1\}$.
c) $y=(x-1)^{\frac{1}{3}}$
Vì số mũ của hàm số là một số không nguyên, nên điều kiện để hàm số có nghĩa là:
$x-1>0$ $\Leftrightarrow x>1$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=(1;+\infty)$.
Lưu ý: $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ chỉ khi $x>0$
Cho hàm số $y=x^\alpha$ $(\alpha\in\mathbb R)$ có tập xác định $D$
Khi đó: $y’=(x^\alpha)’=\alpha.x^{\alpha-1}$ với mọi $x\in D$
Với $u=u(x)$ thỏa điều kiện tương ứng với $\alpha$ thì:
$(u^\alpha)’=\alpha.u^{\alpha-1}.u’$.
Nhận xét: $(\sqrt[n]{x})’=\dfrac{1}{n.\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ $(x \neq 0)$
Ví dụ 2:
a) $(x^{-1})’=-1.x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$ $(x\neq 0)$.
b) $(x^{\sqrt{2}})’=\sqrt{2}.x^{\sqrt{2}-1}$ $(x>0)$.
c) $(\sqrt[3]{x})’=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ $(x\neq 0)$.
d) $(\sqrt[4]{x})’=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$ $(x>0)$.
e) $\left((3x-1)^{\frac{2}{3}}\right)’=\dfrac{2}{3}.(3x-1)^{-\frac{1}{3}}.(3x-1)’$
$=\dfrac{2}{\sqrt[3]{3x-1}}$ $(x>\dfrac{2}{3})$.
f) $( \sqrt[5]{x^2+2x-3})’ = \dfrac{(x^2+2x-3)’}{5. \sqrt[5]{(x^2+2x-3)^4}}$
$= \dfrac{2x+2}{5 \sqrt[5]{(x^2+2x-3)^4}}$ $(x \in \mathbb R \setminus \{ -3;1 \})$.
Xét hàm số $y=x^\alpha$ trên $(0;+\infty)$ ta có bảng tóm tắt sau:
Hình dáng đồ thị hàm số $y=x^\alpha$ trên $(0;+\infty)$
Lưu ý: Khi khảo sát một hàm số cụ thể, ta cần phải khảo sát trên tập xác định của nó
Ví dụ 3: Khảo sát đồ thị của các hàm số sau:
a) $y=x^{-2}$.
b) $y=x^{\frac{1}{3}}$.
Giải:
a) $y=x^{-2}$
Tập xác định: $D=\mathbb R\setminus \{0\}$
$y’=-2.x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}$.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b) $y=x^{\frac{1}{3}}$
Tập xác định: $D=(0;+\infty)$
$y’=\dfrac{1}{3} . x^{-\frac{2}{3}}$ $=\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}>0$ $\forall x \in (0;+\infty)$
Bảng biến thiên:
Đồ thị: