Lý thuyết GTLN và GTNN của hàm số
Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số \(y=f(x)\) trên $D$ nếu: $\begin{cases}f(x)\leq M\,\,\,\forall x\in D\\ \exists x_o\in D:f(x_o)=M\end{cases}$
- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \(y=f(x)\) trên $D$ nếu: $\begin{cases}f(x)\geq M\,\,\,\forall x\in D\\ \exists x_o\in D:f(x_o)=m\end{cases}$
Ký hiệu GTLN và GTNN của hàm số là $M=\max\limits_D f(x)$ và $m=\min\limits_D f(x)$.
Phân biệt giữa giá trị cực đại và giá trị lớn nhất (tương tự với giá trị cực tiểu và giá trị nhỏ nhất)
| Giá trị cực đại | Giá trị lớn nhất |
| + Là giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng lân cận. + Một hàm số có thể có nhiều giá trị cực đại. | + Là giá trị lớn nhất của hàm số trên toàn khoảng, đoạn mà ta đang xét. + Một hàm số chỉ có tối đa một giá trị lớn nhất. |
Ví dụ 1: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $[0;+\infty)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:
Từ bảng biến thiên dễ thấy $\max\limits_{[0;+\infty)} y=5$ khi $x=3$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $[0;+\infty)$ vì không tồn tại giá trị $x_o$ để $f(x_o)=1$.
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số (nếu có):
a) $y=x^4-2x^2+3$.
b) $y=x+\dfrac{1}{x}$ trên $(-\infty;0)$.
Giải:
a) $y=x^4-2x^2+3$
Tập xác định: $D=\mathbb R$
$y’=4x^3-4x$
$y’=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=&0\\x=&\pm 1\end{matrix}\right.$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta nói giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, ký hiệu $\min\limits_{\mathbb R}y =2$ hoặc ghi $\min y=2$ khi $x=\pm 1$, hàm số không có giá trị lớn nhất.
Lưu ý: Ở đây 3 chỉ là giá trị cực đại của hàm số chứ không phải là giá trị lớn nhất.
b) $y=x+\dfrac{1}{x}$
Trên $(-\infty;0)$ ta có:
$y’=1-\dfrac{1}{x^2}$
$y’=0\Leftrightarrow x=-1$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có $\max\limits_{(-\infty;0)}y=-2$ khi $x=-1$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $(-\infty;0)$
GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lý:
Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ thì luôn tồn tại giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
Đối với bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn, ta thường áp dụng theo quy tắc sau:
- Tìm các điểm $x_1,x_2,…\in[a;b]$ mà tại đó $f'(x)=0$ hoặc không xác định.
- Tính $f(x_1),f(x_2),…,f(a),f(b)$.
- Gọi M, m là GTLN và GTNN trong các giá trị đã tính ở trên. Khi đó $\max\limits_{[a;b]}y=M$, $\min\limits_{[a;b]}=m$
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a) $y=x^3+x^2-5x+1$ trên đoạn $[0;3]$
b) $y=\sqrt{4x-x^2}$
c) $y=\dfrac{\sin x-1}{\sin x+2}$
Giải:
a) $y=x^3+x^2-5x+1$
Trên $[0;3]$:
$y’=3x^2+2x-5$
$y’=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x&=&1\\x&=&-5\,\,&\text{(loại)}\end{matrix}\right.$
Tính $y(1)=-2,\,y(0)=1,\,y(3)=22$
Vậy $\max\limits_{[0;3]}y=22$ khi $x=3$
$ \min\limits_{[0;3]}y=-2$ khi $x=1$.
b) $y=\sqrt{4x-x^2}$
Tập xác định: $D=[0;4]$
$y’=\dfrac{2-x}{\sqrt{4x-x^2}}$ , $x\in (0;4)$
$y’=0\Leftrightarrow x=2$
Tính $y(2)=2,\,y(0)=y(4)=0$.
Vậy $\max\limits_{[0;4]}y=2$ khi $x=2$
$\min\limits_{[0;4]}y=0$ khi $x=0$ hoặc $x=4$.
c) $y=\dfrac{\sin x-1}{\sin x+2}$
Tập xác định: $D=\mathbb R$.
Đặt $t=\sin x$ với $t\in [-1;1]$. Khi đó:
$y=\dfrac{t-1}{t+2}=f(t)$.
Như vậy $\max\limits_{\mathbb R}y=\max\limits_{[-1;1]}f(t)$ $\min\limits_{\mathbb R}y=\min\limits_{[-1;1]}f(t)$
Do đó bài toán trở thành là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(t)$ trên đoạn $[-1;1]$
Ta có $f'(t)=\dfrac{3}{(t+2)^2} > 0\,\,\forall x\in [-1;1]$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên $[-1;1]$
Vậy $\max y=\max\limits_{[-1;1]}f(t)=f(1)=0$ khi $t=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
$\min y=\min\limits_{[-1;1]}f(t)=f(-1)=-2$ khi $t=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
