Định nghĩa: Đường thẳng $y=y_o$ là một đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}y=y_o$ ( hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}y=y_o$)
Nhận xét:
Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_o$ được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu: $\lim\limits_{x\rightarrow x^\pm_o}y=\pm\infty$
Nhận xét:
Ví dụ 1: Hàm số $y=\dfrac{x}{|x-2|}$ có đồ thị như hình vẽ:
Dựa vào đồ thị ta có thể kết luận được:
Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$ và $y=-1$.
Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$.
Ví dụ 2: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận được:
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0$
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$ và $x=2$
Ví dụ 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau (nếu có):
a) $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$
b) $y = \dfrac{3x+6}{\sqrt{x^2+x-2}}$
c) $y = \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+1}$
Giải:
a) $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$
Tập xác định: $D = \mathbb R\setminus \{1\}$
Ta có $\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}y = 2$ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$.
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}y = +\infty,\,\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}y = -\infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=1$.
Nhận xét: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ (với $ad-bc\neq 0,\,c\neq 0$) luôn có một tiệm cận ngang là $y=\dfrac{a}{c}$ và một tiệm cận đứng là $x=-\dfrac{d}{c}$.
b) $y=\dfrac{3x+6}{\sqrt{x^2+x-2}}$
Tập xác định: $D=(-\infty;-2)\cup (1;+\infty)$.
$\begin{align}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}y&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{3+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}}}\\&=3\end{align}$
$\begin{align}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}y&=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{3+\dfrac{6}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}}}\\&=-3\end{align}$
Suy ra đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là $y=\pm 3$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}y=+\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow -2^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow -2^-}\left[-3.\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}\right]=0$
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là $x=1$
c) $y=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+1}$
Dễ thấy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
$\begin{align}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}y&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+1}}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}\\&=1\end{align}$
$\begin{align} \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}y&=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+1}}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}\\&=-1\end{align}$
Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là $y=\pm 1$