Lý thuyết đường tiệm cận
Đường tiệm cận ngang
Định nghĩa: Đường thẳng $y=y_o$ là một đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}y=y_o$ ( hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}y=y_o$)
Nhận xét:
- Một đồ thị hàm số chỉ có tối đa hai đường tiệm cận ngang.
- Trên hệ trục tọa độ, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là một đường thẳng nằm ngang mà đồ thị của hàm số tiến sát về đường thẳng đó (bên phải hoặc bên trái) mà không chạm vào đường thẳng đó.
Đường tiệm cận đứng
Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_o$ được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu: $\lim\limits_{x\rightarrow x^\pm_o}y=\pm\infty$
Nhận xét:
- Một hàm số có tiệm cận đứng khi nó có ẩn ở mẫu (trừ hàm tan và cot). Khi đó đồ thị hàm số có số tiệm cận đứng tối đa là số nghiệm của mẫu.
- Trên hệ trục tọa độ, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là một đường thẳng thẳng đứng mà đồ thị của hàm số tiến sát về đường thẳng đó (phía trên hoặc phía dưới) mà không chạm vào đường thẳng đó.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Hàm số $y=\dfrac{x}{|x-2|}$ có đồ thị như hình vẽ:
Dựa vào đồ thị ta có thể kết luận được:
Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$ và $y=-1$.
Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$.
Ví dụ 2: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận được:
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0$
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$ và $x=2$
Ví dụ 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau (nếu có):
a) $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$
b) $y = \dfrac{3x+6}{\sqrt{x^2+x-2}}$
c) $y = \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+1}$
Giải:
a) $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$
Tập xác định: $D = \mathbb R\setminus \{1\}$
Ta có $\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}y = 2$ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$.
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}y = +\infty,\,\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}y = -\infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=1$.
Nhận xét: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ (với $ad-bc\neq 0,\,c\neq 0$) luôn có một tiệm cận ngang là $y=\dfrac{a}{c}$ và một tiệm cận đứng là $x=-\dfrac{d}{c}$.
b) $y=\dfrac{3x+6}{\sqrt{x^2+x-2}}$
Tập xác định: $D=(-\infty;-2)\cup (1;+\infty)$.
$\begin{align}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}y&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{3+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}}}\\&=3\end{align}$
$\begin{align}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}y&=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{3+\dfrac{6}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}}}\\&=-3\end{align}$
Suy ra đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là $y=\pm 3$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}y=+\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow -2^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow -2^-}\left[-3.\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}\right]=0$
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là $x=1$
c) $y=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+1}$
Dễ thấy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
$\begin{align}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}y&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+1}}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}\\&=1\end{align}$
$\begin{align} \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}y&=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+1}}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}\\&=-1\end{align}$
Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là $y=\pm 1$
