Lý thuyết đồ thị hàm số

---

Hình dáng đồ thị

Bảng biến thiên có thể được xem như là một đồ thị thu gọn của hàm số. Do đó dựa vào bảng biến thiên ta có thể xác định được hình dáng của đồ thị hàm số một cách tương đối.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ

Từ bảng biến thiên ta có thể xác định được một vài thông số sau:

Tiệm cận đứng: $x=0$ và $x=2$

Tiệm cận ngang: $y=0$

Và một vài thông số khác như đồng biến, nghịch biến, cực trị.

Đồ thị hàm số có dạng như sau:

Đây chính là đồ thị của hàm số $y=\dfrac{1}{x^2-2x}$

Hàm số bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ $(a\neq 0)$

+ Có hai cực trị (gồm 1 cực đại và 1 cực tiểu) nếu phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt.

+ Không có cực trị nếu phương trình $y’=0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

+ Tâm đối xứng có hoành độ là nghiệm của phương trình $y^”=0$ và là trung điểm của hai cực trị (nếu có).

+ Hình dáng đồ thị:

Ví dụ 2: Hàm số $y=-x^3+3x^2-4$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình vẽ:

Hàm số bậc bốn trùng phương $y=ax^4+bx^2+c\,\,(a\neq 0)$

+ Có ba cực trị khi và chỉ khi $ab < 0$.

+ Có một cực trị khi và chỉ khi $ab\geq 0$.

+ Đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục Oy.

+ Hình dáng đồ thị:

Ví dụ 3: Hàm số $y=x^4-2x^2+3$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình vẽ:

Hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ $($với $c\neq 0,\,ad-bc\neq 0)$

+ Tiệm cận ngang: $y=\dfrac{a}{c}$

+ Tiệm cận đứng: $x=-\dfrac{d}{c}$

+ Tâm đối xứng $I(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c})$ : là giao điểm hai đường tiệm cận.

+ Đồ thị đi lên nếu $ad-bc>0$, đi xuống nếu $ad-bc<0$.

+ Hình dáng đồ thị:

Ví dụ 4: Hàm số $y=\dfrac{x-4}{x-2}$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ và $y=f(|x|)$

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị (C).

+ Lật ngược phần phía dưới trục Ox lên trên (lấy đối xứng) ta được đồ thị hàm số $y=|f(x)|$.

+ Bỏ phần bên trái trục Oy, lấy phần bên phải đối xứng qua ta được đồ thị hàm số $y=f(|x|)$.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Khi đó, đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ và $y=f(|x|)$ lần lượt có dạng là:

Sự tương giao của các đồ thị hàm số

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C_1)$, và hàm số $y=g(x)$ có đồ thị $(C_2)$.

Hoành độ giao điểm của $(C_1)$ và $(C_2)$ là số nghiệm phương trình $f(x)=f(x)$. Số nghiệm phương trình chính là số giao điểm. (Nếu phương trình $f(x)=g(x)$ có nghiệm $x_o$ là nghiệm kép thì $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc nhau tại $x_o$).

Lưu ý:

+ Đường thẳng $y=b$ (b là hằng số) là một đường thẳng nằm ngang, cắt Oy tại điểm có tung độ là b.

+ Trục Ox có phương trình là $y=0$.

Ví dụ 6: Biện luận theo m số nghiệm phương trình $-x^3+3x^2-4=m$

Đây chính là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-4$ (có đồ thị như hình dưới) và đường thẳng $y=m$ (có đồ thị là một đường thẳng nằm ngang).

Cho đường thẳng $y=m$ đi từ dưới lên trên ta thấy:

+ $m<-4$: phương trình có 1 nghiệm.

+ $m=-4$: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ $-4<m<0$: phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

+ $m=0$: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ $m>0$: phương trình có 1 nghiệm.

Kết luận:

+ Phương trình có 1 nghiệm khi và chỉ khi $m<-4$ hoặc $m>0$.

+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m=0$ hoặc $m=-4$.

+ Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-4<m<0$.