Hàm số lượng giác lý thuyết bài 1

---

Nhắc lại về giá trị lượng giác của một cung (góc)

Trên đường tròn lượng giác, gọi M(x,y) là điểm biểu diễn cho cung (góc) lượng giác $\alpha$. Khi đó:

$\sin\alpha=y$	$ \cos\alpha=x$
$ \tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$	$ \cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Các hàm số lượng giác cơ bản

Hàm số sin

Dạng: $y=\sin x$

Tập xác định: $D=\mathbb R$

Tập giá trị: $T=[-1;1]$ (tức là $-1\leq \sin x \leq 1$ )

Tính chẵn lẻ: Là hàm số lẻ, nghĩa là $\sin (-x)=-\sin x$

Tính tuần hoàn: là hàm số tuần hoàn chu kì $2\pi$, nghĩa là $\sin (x+k2\pi)=\sin x$

Sự biến thiên: Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ và nghịch biến trên $\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)$

Do đó nếu xét trên $\mathbb R$ thì hàm số đồng biến trên $\left(-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right)$ và nghịch biến trên $\left(\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi\right)$

Đồ thị:

Hàm số cos

Dạng: $y=\cos x$

Tập xác định: $D=\mathbb R$

Tập giá trị: $T=[-1;1]$ (tức là $-1\leq \cos x \leq 1$ )

Tính chẵn lẻ: Là hàm số chẵn, nghĩa là $ \cos (-x)=\cos x$

Tính tuần hoàn: là hàm số tuần hoàn chu kì $2\pi$, nghĩa là $ \cos (x+k2\pi)= \cos x$

Sự biến thiên: Hàm số $y=\cos x$ nghịch biến trên $(0;\pi)$ và đồng biến trên $(\pi;2\pi)$

Do đó nếu xét trên $\mathbb R$ thì hàm số nghịch biến trên $(k2\pi;\pi+k2\pi)$ và đồng biến trên $(\pi+k2\pi;2\pi+k2\pi)$

Đồ thị:

Hàm số tang

Dạng: $y=\tan x$

Tập xác định: $D=\mathbb R\setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right\}$

Tập giá trị: $T=\mathbb R$

Tính chẵn lẻ: Là hàm số lẻ, nghĩa là $\tan (-x)=-\tan x$

Tính tuần hoàn: là hàm số tuần hoàn chu kì $\pi$, nghĩa là $\tan (x+k\pi)=\tan x$

Sự biến thiên: Hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$

Do đó nếu xét trên tập xác định thì hàm số đồng biến trên $\left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)$

Đồ thị

Hàm số cotang

Dạng: $y=\cot x$

Tập xác định: $D=\mathbb R \setminus \{k\pi\}$

Tập giá trị: $T=\mathbb R$

Tính chẵn lẻ: Là hàm số lẻ, nghĩa là $\cot (-x)=-\cot x$

Tính tuần hoàn: là hàm số tuần hoàn chu kì $\pi$, nghĩa là $\cot (x+k\pi)=\cot x$

Sự biến thiên: Hàm số $y=\cot x$ nghịch biến trên $(0;\pi)$

Do đó nếu xét trên tập xác định thì hàm số nghịch biến trên $(k\pi;\pi+k\pi)$

Đồ thị:

Ví dụ các dạng toán hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số

a) $y=\dfrac{3\cos x+1}{\sin x -1}$

b) $y=\tan \left(3x – \dfrac{\pi}{4}\right)$

Giải:

a) $y=\dfrac{3\cos x+1}{\sin x -1}$

Điều kiện:

$\sin x -1 \neq 0$

$ \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$

Vậy: $D=\mathbb R \setminus \left \{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right\}$

b) $y=\tan \left(3x – \dfrac{\pi}{4}\right)$

Điều kiện:

$3x-\dfrac{\pi}{4} \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$

$\Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{3}$

Vậy: $D=\mathbb R \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{3} \right\}$

Ví dụ 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: $f(x)=\dfrac{2\sin x}{\cos x+3}$

Giải:

Tập xác định: $D=\mathbb R$

$\forall\,x \in D \Rightarrow -x\in D$ và:

$\begin{align}f(-x)&=\dfrac{2\sin (-x)}{\cos (-x)+3}\\&=\dfrac{-2\sin x}{\cos x+3}=-f(x)\end{align}$

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ

Ví dụ 3: Tìm GTLN – GTNN của hàm số:

a) $y=3\sin x -1$

b) $y=5-2\ cos^2 (2x)$

c) $y=\sqrt{1-2\sin (3x)}$

Giải:

a) $y=3\sin x -1$

Ta có:

$\begin{matrix} -1 &\leq &\sin x &1\\ -3 &\leq&3\sin x&\leq 3\\ -4&\leq&3\sin x-1&\leq2\end{matrix}$

Vậy:

$\min y=-4$ khi $\sin x=-1$

$\max y=2$ khi $\sin x=1$

b) $y=5-2\ cos^2 (2x)$

Ta có:

$\begin{matrix} &0 & \leq &cos^2 (2x) &\leq& 1\\ \Leftrightarrow &0 &\geq& -2\cos^2 (2x)&\geq&-2\\ \Leftrightarrow &5&\geq &5-2\cos^2 (2x)&\geq &3\end{matrix}$

Vậy:

$\min y=3$ khi $\cos^2 (2x)=1$

$\max y=5$ khi $\cos^2 (2x) = 0 $

c) $y=\sqrt{1-2\sin (3x)}$

Điều kiện:

$1-2\sin (3x) \geq 0 \Leftrightarrow \sin (3x) \leq \dfrac{1}{2}$

Do đó:

$\begin{matrix}-1&\leq& \sin (3x)&\leq&\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2&\geq&-2\sin (3x)&\geq&-1\\ \Leftrightarrow 3&\geq&1-2\sin (3x)&\geq&0\\ \Leftrightarrow \sqrt{3}&\geq&\sqrt{1-2\sin (3x)}&\geq&0\end{matrix}$

Vậy:

$\min y=0$ khi $\sin (3x)=\dfrac{1}{2}$

$\max y=\sqrt{3}$ khi $\sin (3x) =-1$