Giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp hàm số (nâng cao)


Cho $f(x)$ là một hàm số đơn điệu trên $K$. Khi đó:

  • Phương trình $f(x)=a$ có tối đa một nghiệm trên $K$
  • $f(a)=f(b)$ $\Leftrightarrow a=b$, với $a,b\in K$

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $2^{x+2}+5^x=13^x$

b) $2^{x+1}-5^x=13^x$

c) $\log_2(x^3+3x)+\log_3(2x+1)=3$

d) $\log_3x=\log_5(x+2)$

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) $2^{4x-3}-2^{x^2+1}=(x-2)^2$

b) $\log_3\dfrac{x^2+x+1}{2x^2-1}=x^2-x-2$

Hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $2^{x+2}+5^x=13^x$

$\Leftrightarrow 4.2^x+5^x=13^x$

$\Leftrightarrow 4.\left(\dfrac{2}{13}\right)^x+\left(\dfrac{5}{13}\right)^x=1$

Xét $f(x)=4.\left(\dfrac{2}{13}\right)^x+\left(\dfrac{5}{13}\right)^x$

Ta có:

$f'(x)=4.\left(\dfrac{2}{13}\right)^x.\ln\dfrac{2}{13}$ $+\left(\dfrac{5}{13}\right)^x.\ln\dfrac{5}{13}$ $<0$ $\forall x\in\mathbb R$

$\Rightarrow$ hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb R$

$\Rightarrow$ phương trình $f(x)=1$ có tối đa 1 nghiệm trên $\mathbb R$

Mặt khác, dễ thấy $x=1$ là một nghiệm của phương trình

Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất $x=1$

b) ${{2}^{x+1}}-{{5}^{x}}={{13}^{x}}$

$\Leftrightarrow {{2.2}^{x}}={{5}^{x}}+{{13}^{x}}$

$\Leftrightarrow 2={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{13}{2} \right)}^{x}}$

Xét $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{13}{2} \right)}^{x}}$

Ta có:

$f’\left( x \right)={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{x}}.\ln \dfrac{5}{2}$ $+{{\left( \dfrac{13}{2} \right)}^{x}}.\ln \dfrac{13}{2}$  $>0$  $\forall \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow $ hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right)=2$ có tối đa một nghiệm trên $\mathbb{R}$

Mặt khác, dễ thấy $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình

Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là $x=0$

c) ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}+3x \right)+{{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)=3$

Điều kiện: $x>0$

Xét $f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}+3x \right)+{{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)$, $x>0$

Ta có :

$f’\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}+3}{\left( {{x}^{3}}+3x \right)\ln 2}$ $+\dfrac{2}{\left( 2x+1 \right)\ln 3}$ $>0$  $\forall x>0$

$\Rightarrow $ hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$

$\Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right)=3$ có tối đa một nghiệm trên $\left( 0;+\infty  \right)$

Mặt khác, dễ thấy $x=1$ là một nghiệm của phương trình

Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là $x=1$

d) ${{\log }_{3}}x={{\log }_{5}}\left( x+2 \right)$

Điều kiện: $x>0$

Đặt ${{\log }_{3}}x={{\log }_{5}}\left( x+2 \right)=t$

Khi đó ta có:

$\left\{ \begin{align}  & x={{3}^{t}} \\ & x+2={{5}^{t}} \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow {{3}^{t}}+2={{5}^{t}}$

$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}=1$

Xét $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}$

Ta có:

$f’\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{3}{5}$ $+2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{1}{5}$ $<0$  $\forall t\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

$\Rightarrow $ phương trình $f\left( t \right)=1$ có tối đa một nghiệm

Mặt khác, dễ thấy $t=1$ là một nghiệm của phương trình $f\left( t \right)=1$

Do đó phương trình $f\left( t \right)=1$ có nghiệm duy nhất $t=1$

Mà ${{\log }_{3}}x=t$ nên ${{\log }_{3}}x=1$$\Leftrightarrow x=3$

Vậy phương trình đã chó có 1 nghiệm duy nhất $x=3$

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) $2^{4x-3}-2^{x^2+1}=(x-2)^2$

$\Leftrightarrow {{2}^{4x-3}}-{{2}^{{{x}^{2}}+1}}={{x}^{2}}+1-\left( 4x-3 \right)$

$\Leftrightarrow {{2}^{4x-3}}+\left( 4x-3 \right)={{2}^{{{x}^{2}}+1}}+\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ $(*)$

Xét $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$

$\Rightarrow f’\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1$ $>0$  $\forall t\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Khi đó:

$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 4x-3 \right)=f\left( {{x}^{2}}+1 \right)$

$\Leftrightarrow 4x-3={{x}^{2}}+1$

$\Leftrightarrow x=2$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: $x=2$

b) ${{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{2{{x}^{2}}-1}={{x}^{2}}-x-2$

Điều kiện: $2{{x}^{2}}-1>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x<-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\  & x>\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{align} \right.$

${{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{2{{x}^{2}}-1}={{x}^{2}}-x-2$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)$$=\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$$=\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)$ $(*)$

Xét $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$, $t>0$

$\Rightarrow f’\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 3}$ $>0$  $\forall t\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$

Khi đó:

$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+1=2{{x}^{2}}-1$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=2 \\ \end{align} \right.$ (thỏa điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ -1;2 \right\}$

Bình luận

Để lại bình luận

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

error

Nếu thấy hay đừng quên chia sẻ cho mọi người biết với nhé

Follow by Email57
Facebook314
Twitter112
YouTube1k
YouTube
WhatsApp20
Chuyển đến thanh công cụ