Giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp hàm số (nâng cao)

---

Cho $f(x)$ là một hàm số đơn điệu trên $K$. Khi đó:

• Phương trình $f(x)=a$ có tối đa một nghiệm trên $K$

• $f(a)=f(b)$ $\Leftrightarrow a=b$, với $a,b\in K$

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $2^{x+2}+5^x=13^x$

b) $2^{x+1}-5^x=13^x$

c) $\log_2(x^3+3x)+\log_3(2x+1)=3$

d) $\log_3x=\log_5(x+2)$

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) $2^{4x-3}-2^{x^2+1}=(x-2)^2$

b) $\log_3\dfrac{x^2+x+1}{2x^2-1}=x^2-x-2$

Hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) $2^{x+2}+5^x=13^x$

$\Leftrightarrow 4.2^x+5^x=13^x$

$\Leftrightarrow 4.\left(\dfrac{2}{13}\right)^x+\left(\dfrac{5}{13}\right)^x=1$

Xét $f(x)=4.\left(\dfrac{2}{13}\right)^x+\left(\dfrac{5}{13}\right)^x$

Ta có:

$f'(x)=4.\left(\dfrac{2}{13}\right)^x.\ln\dfrac{2}{13}$ $+\left(\dfrac{5}{13}\right)^x.\ln\dfrac{5}{13}$ $<0$ $\forall x\in\mathbb R$

$\Rightarrow$ hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb R$

$\Rightarrow$ phương trình $f(x)=1$ có tối đa 1 nghiệm trên $\mathbb R$

Mặt khác, dễ thấy $x=1$ là một nghiệm của phương trình

Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất $x=1$

b) ${{2}^{x+1}}-{{5}^{x}}={{13}^{x}}$

$\Leftrightarrow {{2.2}^{x}}={{5}^{x}}+{{13}^{x}}$

$\Leftrightarrow 2={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{13}{2} \right)}^{x}}$

Xét $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{13}{2} \right)}^{x}}$

Ta có:

$f’\left( x \right)={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{x}}.\ln \dfrac{5}{2}$ $+{{\left( \dfrac{13}{2} \right)}^{x}}.\ln \dfrac{13}{2}$  $>0$  $\forall \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow $ hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right)=2$ có tối đa một nghiệm trên $\mathbb{R}$

Mặt khác, dễ thấy $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình

Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là $x=0$

c) ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}+3x \right)+{{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)=3$

Điều kiện: $x>0$

Xét $f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}+3x \right)+{{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)$, $x>0$

Ta có :

$f’\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}+3}{\left( {{x}^{3}}+3x \right)\ln 2}$ $+\dfrac{2}{\left( 2x+1 \right)\ln 3}$ $>0$  $\forall x>0$

$\Rightarrow $ hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$

$\Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right)=3$ có tối đa một nghiệm trên $\left( 0;+\infty  \right)$

Mặt khác, dễ thấy $x=1$ là một nghiệm của phương trình

Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là $x=1$

d) ${{\log }_{3}}x={{\log }_{5}}\left( x+2 \right)$

Điều kiện: $x>0$

Đặt ${{\log }_{3}}x={{\log }_{5}}\left( x+2 \right)=t$

Khi đó ta có:

$\left\{ \begin{align}  & x={{3}^{t}} \\ & x+2={{5}^{t}} \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow {{3}^{t}}+2={{5}^{t}}$

$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}=1$

Xét $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}$

Ta có:

$f’\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{3}{5}$ $+2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{1}{5}$ $<0$  $\forall t\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

$\Rightarrow $ phương trình $f\left( t \right)=1$ có tối đa một nghiệm

Mặt khác, dễ thấy $t=1$ là một nghiệm của phương trình $f\left( t \right)=1$

Do đó phương trình $f\left( t \right)=1$ có nghiệm duy nhất $t=1$

Mà ${{\log }_{3}}x=t$ nên ${{\log }_{3}}x=1$$\Leftrightarrow x=3$

Vậy phương trình đã chó có 1 nghiệm duy nhất $x=3$

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) $2^{4x-3}-2^{x^2+1}=(x-2)^2$

$\Leftrightarrow {{2}^{4x-3}}-{{2}^{{{x}^{2}}+1}}={{x}^{2}}+1-\left( 4x-3 \right)$

$\Leftrightarrow {{2}^{4x-3}}+\left( 4x-3 \right)={{2}^{{{x}^{2}}+1}}+\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ $(*)$

Xét $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$

$\Rightarrow f’\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1$ $>0$  $\forall t\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Khi đó:

$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 4x-3 \right)=f\left( {{x}^{2}}+1 \right)$

$\Leftrightarrow 4x-3={{x}^{2}}+1$

$\Leftrightarrow x=2$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: $x=2$

b) ${{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{2{{x}^{2}}-1}={{x}^{2}}-x-2$

Điều kiện: $2{{x}^{2}}-1>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x<-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\  & x>\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{align} \right.$

${{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{2{{x}^{2}}-1}={{x}^{2}}-x-2$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)$$=\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$$=\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)$ $(*)$

Xét $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$, $t>0$

$\Rightarrow f’\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 3}$ $>0$  $\forall t\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$

Khi đó:

$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+1=2{{x}^{2}}-1$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=2 \\ \end{align} \right.$ (thỏa điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ -1;2 \right\}$