Công thức tỉ số thể tích

Tính thể tích 1 phần của khối đa diện

• Nếu một khối đa diện có thể tích V được chia thành 2 khối đa diện có thể tích $V_1$ và $V_2$ thì: $V=V_1+V_2$

• Nếu các cạnh của khối đa diện đều tăng/giảm $k$ lần thì thể tích của khối đa diện sẽ tăng/giảm $k^3$ lần

Tỉ số diện tích, tỉ số thể tích

Tỉ số diện tích trong tam giác

Cho M, N là hai điểm thuộc cạnh AB, AC của tam giác ABC (không trùng với A)

Khi đó: $\dfrac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\dfrac{AM}{AB}\cdot \dfrac{AN}{AC}$

Tỉ số thể tích trong khối chóp tam giác

Cho hình chóp S.ABC, gọi A’, B’, C’ là các điểm trên SA, SB, SC ( không trùng với S)

Khi đó: $\dfrac{V_{S.A’B’C’}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SA’}{SA}\cdot\dfrac{SB’}{SB}\cdot\dfrac{SC’}{SC}$

Tỉ số thể tích trong khối chóp tứ giác

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Đặt $\dfrac{SA’}{SA}=x$, $\dfrac{SB’}{SB}=y$, $\dfrac{SC’}{SC}=z$, $\dfrac{SD’}{SD}=t$

Khi đó:

• $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}$

• $\dfrac{V_{S.A’B’C’D’}}{V_{S.ABCD}}=\dfrac{xyzt}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)$

Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ tam giác

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P là các điểm thuộc cạnh AA’, BB’, CC’.

Khi đó: $\dfrac{V_{ABC.MNP}}{V_{ABC.A’B’C’}}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{AM}{AA’}+\dfrac{BN}{BB’}+\dfrac{CP}{CC’}\right)$

Tỉ số thể tích trong khối hộp

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại M, N, P, Q

Khi đó:

• $\dfrac{AM}{AA’}+\dfrac{CP}{CC’}=\dfrac{BN}{BB’}+\dfrac{DQ}{DD’}$

• $\begin{align}\dfrac{V_{ABCD.MNPQ}}{V_{ABCD.A’B’C’D’}}&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{AM}{AA’}+\dfrac{CP}{CC’}\right)\\&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{BN}{BB’}+\dfrac{DQ}{DD’}\right)\end{align}$