Các dạng bài toán cơ bản nhận biết khối đa diện

Nhận biết khối đa diện – Khối đa diện lồi

Trong các hình (khối) dưới đây, đâu là hình (khối) đa diện, đâu là hình (khối) đa diện lồi?

Khối đa diện là các hình: 1, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Khối đa diện lồi là các hình: 1, 5, 8, 10, 15, 16

Mặt phẳng đối xứng của hình đa diện

Cho hình đa diện $(H)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình $(H)$ nếu ảnh của hình $(H)$ qua phép đối xứng mặt phẳng $(\alpha)$cũng là hình $(H)$

Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng

Hình bát diện đều có 9 mặt phẳng đối xứng

Số đỉnh, cạnh, mặt của một khối đa diện

Gọi $đ, c, m$ lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của một khối đa diện. Khi đó:

$đ < c, m < c$

$đ,m\geq 4, c\geq 6$

$đ+m=c+2$

Nếu mỗi mặt của đa diện đều có $p$ cạnh thì $pm=2c$

Nếu mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của đúng $q$ mặt thì $qđ=2c$

Lưu ý: Khối tứ diện có số đỉnh, số cạnh, số mặt ít nhất trong tất cả các khối đa diện

Khối chóp n-giác có số đỉnh, số mặt là $n+1$, số cạnh là $2n$

Khối lăng trụ n-giác có số đỉnh là $2n$, số mặt là $n+2$, số cạnh là $3n$

Ví dụ 1: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt?

Trả lời: Hình tứ diện có đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt. Vậy hình đa diện có đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt

Ví dụ 2: Cho khối đa diện có mỗi mặt đều là tam giác. Gọi $m$ là số mặt của đa diện đó. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $m$ chia hết cho $3$

B. $m$ là số chẵn

C. $m$ là số lẻ

D. $m$ chia hết cho $5$

Giải:

Vì mỗi mặt của đa diện đều có $3$ cạnh nên ta có: $3m=2c$

Do đó $m$ phải là số chẵn

Vậy đáp án là B

Ví dụ 3: Tính tổng diện tích các mặt của hình đa diện đều loại $\{3;5\}$ cạnh $a$

Giải:

Đa diện đều $\{3;5\}$ có $20$ mặt, mỗi mặt là tam giác đều cạnh $a$

Diện tích mỗi mặt là $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Do đó tổng diện tích các mặt là $20\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=5a^2\sqrt{3}$