Trong các hình (khối) dưới đây, đâu là hình (khối) đa diện, đâu là hình (khối) đa diện lồi?
Khối đa diện là các hình: 1, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
Khối đa diện lồi là các hình: 1, 5, 8, 10, 15, 16
Cho hình đa diện $(H)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình $(H)$ nếu ảnh của hình $(H)$ qua phép đối xứng mặt phẳng $(\alpha)$cũng là hình $(H)$
Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng
Hình bát diện đều có 9 mặt phẳng đối xứng
Gọi $đ, c, m$ lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của một khối đa diện. Khi đó:
$đ < c, m < c$
$đ,m\geq 4, c\geq 6$
$đ+m=c+2$
Nếu mỗi mặt của đa diện đều có $p$ cạnh thì $pm=2c$
Nếu mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của đúng $q$ mặt thì $qđ=2c$
Lưu ý: Khối tứ diện có số đỉnh, số cạnh, số mặt ít nhất trong tất cả các khối đa diện
Khối chóp n-giác có số đỉnh, số mặt là $n+1$, số cạnh là $2n$
Khối lăng trụ n-giác có số đỉnh là $2n$, số mặt là $n+2$, số cạnh là $3n$
Ví dụ 1: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt?
Trả lời: Hình tứ diện có đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt. Vậy hình đa diện có đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt
Ví dụ 2: Cho khối đa diện có mỗi mặt đều là tam giác. Gọi $m$ là số mặt của đa diện đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $m$ chia hết cho $3$
B. $m$ là số chẵn
C. $m$ là số lẻ
D. $m$ chia hết cho $5$
Giải:
Vì mỗi mặt của đa diện đều có $3$ cạnh nên ta có: $3m=2c$
Do đó $m$ phải là số chẵn
Vậy đáp án là B
Ví dụ 3: Tính tổng diện tích các mặt của hình đa diện đều loại $\{3;5\}$ cạnh $a$
Giải:
Đa diện đều $\{3;5\}$ có $20$ mặt, mỗi mặt là tam giác đều cạnh $a$
Diện tích mỗi mặt là $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Do đó tổng diện tích các mặt là $20\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=5a^2\sqrt{3}$