Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Học toán online miễn phí với bài giảng “Tính đơn điệu của hàm số” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.

Các em có thể vào trang https://hochieuqua.edu.vn/lessons/bai-1-tinh-don-dieu-cua-ham-so/ để xem bài học được cập nhật mới hơn nhé

Chúc các em học hiệu quả ^_^

Video giảng dạy Bài 1: tính đơn điệu của hàm số

Nhắc lại về tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số \( y=f(x) \) xác định trên K (K là một khoảng, đoạn, hay nửa khoảng nào đó)

+ Hàm số \( y=f(x) \) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

\(\forall\,\,x_1,x_2\in K:x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)

Hay nói đơn giản là: \( \dfrac {f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0 \) \( \forall x_1,x_2 \in K, x_1 \neq x_2 \)

+ Hàm số \( y=f(x) \) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

\(\forall\,\,x_1,x_2\in K:x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)

Hay nói đơn giản là: \( \dfrac {f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0 \) \( \forall x_1,x_2 \in K, x_1 \neq x_2 \)

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. Nên nói xét tính đơn điệu của hàm số chính là nói tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lưu ý: Hàm số có thể đồng biến trên khoảng này nhưng lại nghịch biến trên khoảng khác

Ví dụ: Xét hàm số \( y=f(x) \) có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thị, ta có hàm số đồng biến trên \( (-\infty;-2) \) và \( (0;+\infty) \) ; hàm số nghịch biến trên \( (-2;0) \)

Xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm

Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm trên K

+ Nếu \( f'(x) \geq 0 \,\,\forall x \in K \) ( \( f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số đồng biến trên K.

+ Nếu \( f'(x) \leq 0 \,\,\forall x \in K \) ( \( f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số nghịch biến trên K.

+ Nếu \( f'(x)=0 \,\, \forall x \in K \) thì hàm số không đổi trên K.

Nhận xét: Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta chỉ cần tìm đạo hàm \( y’=f'(x) \) của hàm số đó rồi xét dấu \( y’=f'(x) \) (lập bảng biến thiên), từ đó suy ra được các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

a) \( y=\dfrac {1}{3}x^3-2x^2+4x-5 \)

b) \( y=x^4-2x^2+3 \)

c) \( y=\dfrac {2x-5}{x-2} \)

Giải:

a) \( y=\dfrac {1}{3}x^3-2x^2+4x-5 \)

Tập xác định: \( D=\mathbb R\\y’=x^2-4x+4\\y’=0 \Leftrightarrow x=2\)

Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số \( y=\dfrac {1}{3}x^3-2x^2+4x-5 \) đồng biến trên \( \mathbb R \)

b) \( y=x^4-2x^2+3 \)

Tập xác định: \(y’=4x^3-4x\\y’=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=&0\\x=&\pm 1\end{matrix}\right.\)

Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số \( y=x^4-2x^2+3 \) đồng biến trên các khoảng \( (-1;2) \text{và} (1;+\infty) \) ; nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty;-1) \text{và} (0;1) \)

c) \( y=\dfrac {2x-5}{x-2} \)

Tập xác định: \( D=\mathbb R \setminus \{2\}\\y’=\dfrac {1}{(x-2)^2}>0 \,\,\,\,\forall x \neq 2 \)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số \( y=\dfrac {2x-5}{x-2} \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty;2) \text{và} (2;+\infty) \)

Lưu ý: Sẽ là sai nếu ta kết luận hàm số đồng biến trên \( \mathbb R \setminus \{2\} \) hoặc nói hàm số đồng biến trên \( (-\infty;2) \cup (2;+\infty) \)

Ví dụ 2: Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên từng khoảng xác định của nó:

a) \( y=\dfrac {1}{3}x^3+(m+1)x^2-(m+1)x+1 \)

b) \( y=\dfrac {mx+3}{3x+m} \)

Giải:

a) \( y=\dfrac {1}{3}x^3+(m+1)x^2-(m+1)x+1 \)

Tập xác định: \( D=\mathbb R\\y’=x^2+2(m+1)x-(m+1) \)

Hàm số đồng biến trên \( \mathbb R \) khi và chỉ khi \( y’ \geq 0 \,\,\forall x\in \mathbb R\\ \Leftrightarrow \Delta’ =(m+1)^2+4(m+1)\leq 0\\ \Leftrightarrow (m+1)(m+5) \leq 0\\ \Leftrightarrow -5 \leq m \leq -1\)

Nhắc lại: hàm số \( y=ax^2+bx+c \geq 0 \,\,\forall x \in \mathbb R \Leftrightarrow \begin{cases} a&>&0\\ \Delta &\leq &0 \end{cases} \)

b) \( y=\dfrac {mx+3}{3x+m} \)

Tập xác định: \( D=\mathbb R \setminus \left\{-\dfrac {m}{3}\right\} \\ y’=\dfrac {m^2-9}{(3x+m)^2} \)

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó khi và chỉ khi \( y’>0 \,\, \forall x \in D\\ \Leftrightarrow m^2-9>0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}m&<&-3\\m&>&3 \end{matrix} \right. \)

Lưu ý: Ở đây ta chỉ lấy \( y’>0 \) mà không lấy \( y’\geq 0 \) vì nếu \( y’=0 \) thì \(y’=0 \,\forall x \in D \)

Ví dụ 3: Giải phương trình \( \sqrt {x+3}+\sqrt {2x-1}+\sqrt {5x+4}=6 \)

Điều kiện \( x \geq \dfrac {1}{2} \)

Thay \( x=\dfrac {1}{2} \) vào phương trình ta thấy 2 vế không bằng nhau nên \( x=\dfrac {1}{2} \) không phải nghiệm phương trình.

Xét hàm số : \( y=\sqrt {x+3}+\sqrt {2x-1}+\sqrt {5x+4}\\y’=\dfrac {1}{2\sqrt {x+3}}+\dfrac {1}{\sqrt {2x-1}}+\dfrac {5}{2\sqrt {5x+4}}>0\,\,\forall x >\dfrac {1}{2} \)

Do đó hàm số \( y=\sqrt {x+3}+\sqrt {2x-1}+\sqrt {5x+4} \) đồng biến trên \( \left(\dfrac {1}{2};+\infty\right) \)

Mặt khác, dễ thấy \( x=1 \) là một nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \( x=1 \).

Video các dạng toán thường gặp

Bài tập trắc nghiệm: Tính đơn điệu của hàm số

Lưu ý: cần đăng nhập để làm bài tập trắc nghiệm trực tiếp trên website

This quiz is for logged in users only.

Tên người dùng hoặc Địa chỉ Email

Mật khẩu

Tự động đăng nhập

Đăng nhập bằng Google

Video sửa bài tập trắc nghiệm

Link sửa bài tập trắc nghiệm trên youtube: https://youtu.be/7fr0OUAmzB4

Tài liệu

Các em nếu không muốn làm trực tiếp trên website thì download file dưới đây về làm và nhớ là in ra giấy rồi hãy làm nha.

Xem thêm tại :kênh youtube bài giảng của thầy Đăng