Học toán online miễn phí với bài giảng “Phương trình mũ và phương trình logarit” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.
Tại đây, các em có thể xem video về bài giảng, làm bài tập trắc nghiệm, xem video sửa bài tập và download file về làm lại lần nữa.
Chúc các em học hiệu quả ^_^
Mục lục
Video giảng dạy bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit
Phần 1: Phương trình mũ
Phần 2: Phương trình logarit
Phương trình mũ
Phương trình mũ cơ bản
Dạng: \(a^x=b\;(a>0,a \neq 1)\)
Nếu \(b\leq 0\): phương trình vô nghiệm
Nếu \(b>0\): phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\log_a b\)
Lưu ý: Với \(a>0,a \neq 1\) ta cũng có:
\(a^{f(x)}=b (b>0) \Leftrightarrow f(x)=\log_a b \\ a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x)\)Ví dụ 1: Giải phương trình:
a) \(2^x=16\).
b) \(3^{2x-1}=5\).
c) \(0,3^{x^2+x-1}=0,3^{3x+7}\)
Giải:
a) \(2^x=16 \Leftrightarrow x=\log_2 16=4\)
Vậy phương trình có một nghiệm là \(x=4\).
b) \(3^{2x-1}=5\\ \Leftrightarrow 2x-1=\log_3 5\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1+\log_3 5}{2}\)
Vậy phương trình có một nghiệm là \(x=\dfrac{1+\log_3 5}{2}\).
c) \(0,3^{x^2+x-1}=0,3^{3x+7}\\ \Leftrightarrow x^2+x-1=3x+7 \\ \Leftrightarrow x^2-2x-8=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x &=4\\x &=-2 \end{aligned} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\{-2; 4 \}\).
Cách giải một số phương trình mũ đơn giản
1) Đưa về cùng cơ số:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a) \((1,5)^{5x-7}= \left( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1}\)
b) \((\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(3+2\sqrt{2})^{x+2}\)
Giải:
a) \((1,5)^{5x-7}= \left( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1}\)
Ta có : \(1,5=\dfrac{3}{2} ; \dfrac{2}{3}=\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-1}\) nên ta đưa 2 vế về cùng một cơ số là \(\dfrac{3}{2}\).
Phương trình trở thành:
\(\left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x-7}=\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-x-1}\\ \Leftrightarrow 5x-7=-x-1\\ \Leftrightarrow x=1\)Vậy phương trình có một nghiệm là: \(x=1\).
b) \((\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(3+2\sqrt{2})^{x+2}\)
Ta có:
\(\begin{aligned}3+2\sqrt{2}&=(\sqrt{2}+1)^2\\&=\dfrac{1}{(\sqrt{2}-1)^2}\\&=(\sqrt{2}-1)^{-2}\end{aligned}\)Do đó phương trình trở thành:
\((\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(\sqrt{2}-1)^{-2x-4}\\ \Leftrightarrow x^2+3x=-2x-4 \\ \Leftrightarrow x^2+5x+4=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-1\\x=-4\end{matrix} \right.\)Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\{ -4;-2 \}\).
2) Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 3: Giải phương trình
a) \(64^x-8^x-56=0\).
b) \(3.4^x-2.6^x=9^x\).
c) \((\sqrt{2}+1)^x-3(\sqrt{2}-1)^x+2=0\).
Giải:
a) \(64^x-8^x-56=0\)
Đặt \(t=8^x,\;(t>0)\), khi đó phương trình trở thành
\(t^2-t-56=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=8\\t&=-7 \text{(loại)}\end{aligned} \right.\)Với \(t=8 \Leftrightarrow 8^x=8 \Leftrightarrow x=1\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\).
b) \(3.4^x-2.6^x=9^x\)
Chia 2 vế của phương trình cho \(4^x\) ta được:
\(3-2.\left( \dfrac{3}{2}\right)^x=\left( \dfrac{9}{4} \right)^x\)Đặt: \(t=\left( \dfrac{3}{2} \right)^x,\;(t>0)\), phương trình trở thành:
\(t^2+2t-3=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\;\text{(loại)} \end{aligned} \right.\)Với \(t=1 \Leftrightarrow \left( \dfrac{3}{2} \right)^x=1 \Leftrightarrow x=0\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=0\).
c) \((\sqrt{2}+1)^x-3(\sqrt{2}-1)^x+2=0\)
Ta có: \((\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1\\ \Rightarrow (\sqrt{2}-1)^x=\dfrac{1}{(\sqrt{2}+1)^x}\)
Do đó, bằng việc đặt \(t=(\sqrt{2}+1)^x,\;(t>0)\), phương trình trở thành:
\(t-\dfrac{3}{t}+2=0\\ \Leftrightarrow t^2+2t-3=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\;\text{(loại)} \end{aligned} \right.\)Với \(t=1 \Leftrightarrow (\sqrt{2}+1)^x=1 \Leftrightarrow x=0\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=0\).
3) Logarit hóa:
Phương pháp logarit hóa là lấy logarit 2 vế với cơ số thích hợp, thường chỉ dùng cho các phương trình mũ có dạng tích, thương.
Ví dụ 4: Giải phương trình: \(2^{x^2}.3^{x+1}=2\)
Giải:
Lấy logarit cơ số 2 của hai vế ta được:
\(\log_2(2^{x^2}.3^{x+1})=\log_2 2\\ \Leftrightarrow \log_2 2^{x^2}+\log_2 3^{x+1}=1 \\ \Leftrightarrow x^2+(x+1)\log_2 3 =1 \\ \Leftrightarrow x^2+x.\log_2 3+\log_2 3-1=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=-1\\x&=1-\log_2 3 \end{aligned} \right.\)Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S= \{ -1;1-\log_2 3 \}\)
Phương trình logarit
Phương trình logarit cơ bản
Dạng: \(\log_a x=b\;(a>0,a \neq 1)\)
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất: \(x=a^b\)
Lưu ý: Với \(a>0,a\neq 1\) ta cũng có:
\(\log_a f(x)=b \Leftrightarrow f(x)=a^b\\ \log_a f(x) =\log_a g(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x)>0\)Ví dụ 1: Giải phương trình:
a) \(\log_2 x=-3\).
b) \(\log_2 (x^2-2x-7)=3\).
c) \(\log_3 (x^2+x-1)=\log_3 (2x+1)\)
Giải:
a) \(\log_2 x=-3\\ \Leftrightarrow x=2^{-3}\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{1}{8}\).
b) \(\log_2 (x^2-2x-7) = 3\\ \Leftrightarrow x^2-2x-7=2^3\\ \Leftrightarrow x^2-2x-15=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=5\\x&=-3\end{aligned} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\{ -3;5 \}\).
c) \(\log_3 (x^2+x-1)=\log_3 (2x+1)\)
Điều kiện: \(2x+1>0 \Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}\)
Khi đó phương trình tương đương:
\(x^2+x-1=2x+1\\ \Leftrightarrow x^2-x-2=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=-1\;\text{(loại)}\\x&=2\end{aligned} \right.\)Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2\).
Cách giải một số phương trình logarit đơn giản
1) Đưa về cùng cơ số:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a) \(\log_{\sqrt{2}}x+4\log_4 x+\log_8 x=13\).
b) \(\log_{\sqrt{2}}(x-1)=\log_2 (3x+1)\).
Giải:
a) \(\log_{\sqrt{2}}x+4\log_4 x+\log_8 x=13\\ \Leftrightarrow 2\log_2 x+2\log_2 x+\dfrac{1}{3}\log_2 x=13\\ \Leftrightarrow \log_2 x=3 \Leftrightarrow x=8\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=8\).
b) \(\log_{\sqrt{2}}(x-1)=\log_2 (3x+1)\)
Điều kiện: \(x>1\)
Phương trình tương đương:
\(\log_2 (x-1)^2=\log_2 (3x+1)\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1=3x+1\\ \Leftrightarrow x^2-5x=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=0\;\text{(loại)}\\x&=5\end{aligned} \right.\)Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=5\).
2) Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 3: Giải phương trình:
a) \(\log_2^2 x+2\log_2 x-3=0\).
b) \(\log_3 x -5\log_x 3+4=0\).
Giải:
a) \(\log_2^2 x+2\log_2 x-3 =0\)
Đặt: \(t=\log_2 x\) ta có phương trình:
\(t^2+2t-3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\end{aligned} \right.\)Với \(t=1 \Leftrightarrow \log_2 x=1 \Leftrightarrow x=2\)
Với \(t=-3 \Leftrightarrow \log_2 x=-3 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S= \left\{2;\dfrac{1}{8} \right\}\).
b) \(\log_3 x-5\log_x 3+4=0\)
Điều kiện: \(x>0,x\neq 1\)
Ta có: \(\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x}\), nên đặt \(t=\log_3 x,\;(t\neq 0)\) ta có phương trình:
\(t-\dfrac{5}{t}+4=0 \\ \Leftrightarrow t^2+4t-5=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-5\end{aligned}\right.\)Với \(t=1 \Leftrightarrow \log_3 x=1 \Leftrightarrow x=3\)
Với \(t=-5 \Leftrightarrow \log_3 x=-5 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{243}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left\{3; \dfrac{1}{243} \right\}\).
3) Mũ hóa:
Ví dụ 4: Giải phương trình \(\log_2 (4^x+4)=x+\log_2 (2^{x+1}-3)\).
Giải:
Điều kiện: \(2^{x+1}-3>0\)
Lấy mũ hai vế với cơ số 2 ta được:
\(2^{\log_2 (4^x+4)}=2^x.2^{\log_2 (2^{x+1}-3}\\ \Leftrightarrow 4^x+4=2^x.(2^{x+1}-3)\)Đặt \(t=2^x\;(t>0)\) phương trình trở thành:
\(t^2+4=t(2t-3)\\ \Leftrightarrow t^2-3t-4=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=-1\;\text{(loại)}\\t&=4\end{aligned}\right.\)Với \(t=4 \Leftrightarrow 2^x=4 \Leftrightarrow x=2\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2\).
Video các dạng toán thường gặp
Bài tập trắc nghiệm: Phương trình mũ – Phương trình logarit
This quiz is for logged in users only.
Video sửa bài tập trắc nghiệm
Xem video sửa bài tập tại kênh youtube: https://youtu.be/YmBSZJxoQHk
Tài liệu
Xem video bài dạy của thầy Đăng NTB tại: https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg
Bạn nào có thắc mắc hay góp ý gì xin hãy để lại bình luận dưới đây nhé