Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

Học toán online miễn phí với bài giảng “Phương trình mũ và phương trình logarit” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.

Tại đây, các em có thể xem video về bài giảng, làm bài tập trắc nghiệm, xem video sửa bài tập và download file về làm lại lần nữa.

Chúc các em học hiệu quả ^_^

Video giảng dạy bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

Phần 1: Phương trình mũ

Phần 2: Phương trình logarit

Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản

Dạng: a^x=b\;(a>0,a \neq 1)

Nếu b\leq 0: phương trình vô nghiệm

Nếu b>0: phương trình có nghiệm duy nhất x=\log_a b

Lưu ý: Với a>0,a \neq 1 ta cũng có:

a^{f(x)}=b (b>0) \Leftrightarrow f(x)=\log_a b \\ a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x)

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) 2^x=16.

b) 3^{2x-1}=5.

c) 0,3^{x^2+x-1}=0,3^{3x+7}

Giải:

a) 2^x=16 \Leftrightarrow x=\log_2 16=4

Vậy phương trình có một nghiệm là x=4.

b) 3^{2x-1}=5\\ \Leftrightarrow 2x-1=\log_3 5\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1+\log_3 5}{2}

Vậy phương trình có một nghiệm là x=\dfrac{1+\log_3 5}{2}.

c) 0,3^{x^2+x-1}=0,3^{3x+7}\\ \Leftrightarrow x^2+x-1=3x+7 \\ \Leftrightarrow x^2-2x-8=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x &=4\\x &=-2 \end{aligned} \right.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=\{-2; 4 \}.

Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

1) Đưa về cùng cơ số:

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) (1,5)^{5x-7}= \left( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1}

b) (\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(3+2\sqrt{2})^{x+2}

Giải:

a) (1,5)^{5x-7}= \left( \dfrac{2}{3}\right)^{x+1}

Ta có : 1,5=\dfrac{3}{2} ; \dfrac{2}{3}=\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-1} nên ta đưa 2 vế về cùng một cơ số là \dfrac{3}{2}.

Phương trình trở thành:

\left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x-7}=\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-x-1}\\ \Leftrightarrow 5x-7=-x-1\\ \Leftrightarrow x=1

Vậy phương trình có một nghiệm là: x=1.

b) (\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(3+2\sqrt{2})^{x+2}

Ta có:

\begin{aligned}3+2\sqrt{2}&=(\sqrt{2}+1)^2\\&=\dfrac{1}{(\sqrt{2}-1)^2}\\&=(\sqrt{2}-1)^{-2}\end{aligned}

Do đó phương trình trở thành:

(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x}=(\sqrt{2}-1)^{-2x-4}\\ \Leftrightarrow x^2+3x=-2x-4 \\ \Leftrightarrow x^2+5x+4=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-1\\x=-4\end{matrix} \right.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=\{ -4;-2 \}.

2) Đặt ẩn phụ:

Ví dụ 3: Giải phương trình

a) 64^x-8^x-56=0.

b) 3.4^x-2.6^x=9^x.

c) (\sqrt{2}+1)^x-3(\sqrt{2}-1)^x+2=0.

Giải:

a) 64^x-8^x-56=0

Đặt t=8^x,\;(t>0), khi đó phương trình trở thành

t^2-t-56=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=8\\t&=-7 \text{(loại)}\end{aligned} \right.

Với t=8 \Leftrightarrow 8^x=8 \Leftrightarrow x=1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1.

b) 3.4^x-2.6^x=9^x

Chia 2 vế của phương trình cho 4^x ta được:

3-2.\left( \dfrac{3}{2}\right)^x=\left( \dfrac{9}{4} \right)^x

Đặt: t=\left( \dfrac{3}{2} \right)^x,\;(t>0), phương trình trở thành:

t^2+2t-3=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\;\text{(loại)} \end{aligned} \right.

Với t=1 \Leftrightarrow \left( \dfrac{3}{2} \right)^x=1 \Leftrightarrow x=0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0.

c) (\sqrt{2}+1)^x-3(\sqrt{2}-1)^x+2=0

Ta có: (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1\\ \Rightarrow (\sqrt{2}-1)^x=\dfrac{1}{(\sqrt{2}+1)^x}

Do đó, bằng việc đặt t=(\sqrt{2}+1)^x,\;(t>0), phương trình trở thành:

t-\dfrac{3}{t}+2=0\\ \Leftrightarrow t^2+2t-3=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\;\text{(loại)} \end{aligned} \right.

Với t=1 \Leftrightarrow (\sqrt{2}+1)^x=1 \Leftrightarrow x=0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0.

3) Logarit hóa:

Phương pháp logarit hóa là lấy logarit 2 vế với cơ số thích hợp, thường chỉ dùng cho các phương trình mũ có dạng tích, thương.

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2^{x^2}.3^{x+1}=2

Giải:

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế ta được:

\log_2(2^{x^2}.3^{x+1})=\log_2 2\\ \Leftrightarrow \log_2 2^{x^2}+\log_2 3^{x+1}=1 \\ \Leftrightarrow x^2+(x+1)\log_2 3 =1 \\ \Leftrightarrow x^2+x.\log_2 3+\log_2 3-1=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=-1\\x&=1-\log_2 3 \end{aligned} \right.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= \{ -1;1-\log_2 3 \}

Phương trình logarit

Phương trình logarit cơ bản

Dạng: \log_a x=b\;(a>0,a \neq 1)

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất: x=a^b

Lưu ý: Với a>0,a\neq 1 ta cũng có:

\log_a f(x)=b \Leftrightarrow f(x)=a^b\\ \log_a f(x) =\log_a g(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x)>0

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) \log_2 x=-3.

b) \log_2 (x^2-2x-7)=3.

c) \log_3 (x^2+x-1)=\log_3 (2x+1)

Giải:

a) \log_2 x=-3\\ \Leftrightarrow x=2^{-3}\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=\dfrac{1}{8}.

b) \log_2 (x^2-2x-7) = 3\\ \Leftrightarrow x^2-2x-7=2^3\\ \Leftrightarrow x^2-2x-15=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=5\\x&=-3\end{aligned} \right.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=\{ -3;5 \}.

c) \log_3 (x^2+x-1)=\log_3 (2x+1)

Điều kiện: 2x+1>0 \Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}

Khi đó phương trình tương đương:

x^2+x-1=2x+1\\ \Leftrightarrow x^2-x-2=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=-1\;\text{(loại)}\\x&=2\end{aligned} \right.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2.

Cách giải một số phương trình logarit đơn giản

1) Đưa về cùng cơ số:

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) \log_{\sqrt{2}}x+4\log_4 x+\log_8 x=13.

b) \log_{\sqrt{2}}(x-1)=\log_2 (3x+1).

Giải:

a) \log_{\sqrt{2}}x+4\log_4 x+\log_8 x=13\\ \Leftrightarrow 2\log_2 x+2\log_2 x+\dfrac{1}{3}\log_2 x=13\\ \Leftrightarrow \log_2 x=3 \Leftrightarrow x=8

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=8.

b) \log_{\sqrt{2}}(x-1)=\log_2 (3x+1)

Điều kiện: x>1

Phương trình tương đương:

\log_2 (x-1)^2=\log_2 (3x+1)\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1=3x+1\\ \Leftrightarrow x^2-5x=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&=0\;\text{(loại)}\\x&=5\end{aligned} \right.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=5.

2) Đặt ẩn phụ:

Ví dụ 3: Giải phương trình:

a) \log_2^2 x+2\log_2 x-3=0.

b) \log_3 x -5\log_x 3+4=0.

Giải:

a) \log_2^2 x+2\log_2 x-3 =0

Đặt: t=\log_2 x ta có phương trình:

t^2+2t-3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-3\end{aligned} \right.

Với t=1 \Leftrightarrow \log_2 x=1 \Leftrightarrow x=2

Với t=-3 \Leftrightarrow \log_2 x=-3 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8}

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= \left\{2;\dfrac{1}{8} \right\}.

b) \log_3 x-5\log_x 3+4=0

Điều kiện: x>0,x\neq 1

Ta có: \log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x}, nên đặt t=\log_3 x,\;(t\neq 0) ta có phương trình:

t-\dfrac{5}{t}+4=0 \\ \Leftrightarrow t^2+4t-5=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=1\\t&=-5\end{aligned}\right.

Với t=1 \Leftrightarrow \log_3 x=1 \Leftrightarrow x=3

Với t=-5 \Leftrightarrow \log_3 x=-5 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{243}

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=\left\{3; \dfrac{1}{243} \right\}.

3) Mũ hóa:

Ví dụ 4: Giải phương trình \log_2 (4^x+4)=x+\log_2 (2^{x+1}-3).

Giải:

Điều kiện: 2^{x+1}-3>0

Lấy mũ hai vế với cơ số 2 ta được:

2^{\log_2 (4^x+4)}=2^x.2^{\log_2 (2^{x+1}-3}\\ \Leftrightarrow 4^x+4=2^x.(2^{x+1}-3)

Đặt t=2^x\;(t>0) phương trình trở thành:

t^2+4=t(2t-3)\\ \Leftrightarrow t^2-3t-4=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}t&=-1\;\text{(loại)}\\t&=4\end{aligned}\right.

Với t=4 \Leftrightarrow 2^x=4 \Leftrightarrow x=2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2.

Video các dạng toán thường gặp

Bài tập trắc nghiệm: Phương trình mũ – Phương trình logarit

This quiz is for logged in users only.


Video sửa bài tập trắc nghiệm

Xem video sửa bài tập tại kênh youtube: https://youtu.be/YmBSZJxoQHk

Tài liệu

Xem video bài dạy của thầy Đăng NTB tại: https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg

1 bình luận về “Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit”

Viết một bình luận