Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Học toán online miễn phí với bài giảng “Phương trình lượng giác cơ bản” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.

Hãy hoàn thành bài tập trắc nghiệm dưới đây để có cơ hội nhận quà nhé

Hạn cuối để hoàn thành bài tập trắc nghiệm: chưa cập nhật

Chúc các em học hiệu quả ^_^

Video giảng dạy bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình $\sin x =m$

Trường hợp 1: \(|m|>1\): Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: \(|m| \leq 1\): Đặt \(m=\sin \alpha\) phương trình trở thành:

$\sin x=\sin\alpha$

$\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}x=&\alpha+k2\pi\\x=&\pi-\alpha+k2\pi\end{aligned}\right.$

Lưu ý:

• \(\begin{aligned}&\sin f(x)=\sin g(x)\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}f(x)=&g(x)+k2\pi\\f(x)=&\pi-g(x)+k2\pi\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

• \(\begin{aligned}&\sin x=\sin\alpha^o\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}x=&\alpha^o+k360^o\\x=&180^o-\alpha^o+k360^o\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Các trường hợp đặc biệt:

+ \(\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

+ \(\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

+ \(\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi\)

Ví dụ: Giải phương trình:

a) \(\sin x =\dfrac{1}{2}\)

b) \(\sin x=-\dfrac{3}{2}\)

c) \(\sin x=\dfrac{1}{3}\)

d) \(\sin 2x=\sin (x-30^o)\)

e) \(\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)

Giải:

a) \(\sin x =\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \sin x =\sin \dfrac{\pi}{6}\\ \Leftrightarrow \begin{aligned}x=&\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=&\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\)

Vậy: \(S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+k2\pi;\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\right\}\)

b) \(\sin x=-\dfrac{3}{2}\)

Ta có :\(|-\dfrac{3}{2}|=\dfrac{3}{2}>1\)

Do đó phương trình vô nghiệm

c) \(\sin x=\dfrac{1}{3}\)

\(\sin x=\sin \alpha \text{với} \sin \alpha=\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\alpha+k2\pi\\x=&\pi-\alpha+k2\pi\end{aligned}\right. \)

Ký hiệu: \( \alpha =\arcsin \dfrac{1}{3} (0\leq \alpha \pi). Khi đó ta viết:

[latex]\begin{aligned}&\sin x=\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}x=&\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi\\x=&\pi-\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy: \(S=\left\{\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi;\pi-\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi\right\}\)

d) \(\sin 2x=\sin (x-30^o)\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x=&x-30^o+k360^o\\2x=&180^o-x+30^o+k360^o\end{aligned}\right.\\ Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&-30^o+k360^o\\x=&70^o+k120^o\end{aligned}\right.\)

Vậy: \(S=\{-30^o+k360^o;70^o+k120^o\}\)

e) \(\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\)

Vậy: \(S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\right\}\)

Phương trình $\cos x =m$

Trường hợp 1: \(|m|>1\): Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: \(|m| \leq 1\): Đặt \(m=\cos \alpha\) phương trình trở thành:

\(\begin{aligned}&\cos x=\cos\alpha\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}x=&\alpha+k2\pi\\x=&-\alpha+k2\pi\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Lưu ý:

• \(\begin{aligned}&\cos f(x)=\cos g(x)\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}f(x)=&g(x)+k2\pi\\f(x)=&-g(x)+k2\pi\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

• \(\begin{aligned}&\cos x=\cos\alpha^o\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}x=&\alpha^o+k360^o\\x=&-\alpha^o+k360^o\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Các trường hợp đặc biệt:

+ \(\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi\)

+ \(\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi\)

+ \(\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

Ví dụ: Giải phương trình:

a)\(\cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

b) \(\cos 2x=\cos (x+15^o)\)

Giải:

a)\(\cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow \cos x=\cos dfrac{3\pi}{4}\\ \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\)

Vậy: \(S=\left\{\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\right\}\)

b) \(\cos 2x=\cos (x+15^o)\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x=&x+15^o+k360^o\\2x=&-x-15^o+k360^o\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&15^o+k360^o\\x=&-5^o+k120^o\end{aligned}\right.\)

Vậy \(S=\left\{15^o+k360^o;-5^o+k120^o\right\}\)

Phương trình $\tan x=m$

Đặt: \(m=\tan \alpha\), phương trình trở thành

\(\tan x=\tan\alpha \\ \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi\)

Lưu ý:

• \(\tan f(x)=\tan g(x) \\ \Leftrightarrow \begin{cases}f(x),g(x)\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\\f(x)=g(x)+k\pi\end{cases}\)

• \(\tan x=\tan \alpha^o \Leftrightarrow x=\alpha^o+k180^o\)

Phương trình $\cot x=m$

Đặt: \(m=\cot \alpha\), phương trình trở thành

\(\cot x=\cot\alpha \\ \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi\)

Lưu ý:

• \(\cot f(x)=\cot g(x) \\ \Leftrightarrow \begin{cases}f(x),g(x)\neq k\pi\\f(x)=g(x)+k\pi\end{cases}\)

• \(\cot x=\cot \alpha^o \Leftrightarrow x=\alpha^o+k180^o\)

Ví dụ: Giải phương trình:

a) \(\cot x=\sqrt{3}\)

b) \(\tan 2x=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Giải:

a) \(\cot x=\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow \cot x=\cot \dfrac{\pi}{6}\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi\right\}\)

b) \(\tan 2x=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Điều kiện: \(x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)

Khi đó:

\(\tan 2x=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \Leftrightarrow 2x=x+\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

So với điều kiện, kết luận phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn cách loại nghiệm, gộp nghiệm phương trình lượng giác

Ví dụ phương trình lượng giác cơ bản

Video sửa ví dụ:

Bài tập trắc nghiệm phương trình lượng giác cơ bản

This quiz is for logged in users only.

Tên người dùng hoặc Địa chỉ Email

Mật khẩu

Tự động đăng nhập

Đăng nhập bằng Google

Hướng dẫn sửa bài tập phương trình lượng giác cơ bản

Sửa bài tập trắc nghiệm trên kênh youtube : tại đây

Tài liệu

Xem và theo dõi kênh youtube của thầy Đăng tại: https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg