Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Học toán online miễn phí với bài giảng “Một số phương trình lượng giác thường gặp” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.

Hãy hoàn thành bài tập trắc nghiệm dưới đây để có cơ hội nhận quà nhé

Hạn cuối để hoàn thành bài tập trắc nghiệm: chưa cập nhật

Chúc các em học hiệu quả ^_^

Video giảng dạy bài 3: một số phương trình lượng giác thường gặp

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng: \(a.t+b=0\;(a\neq 0)\)

Trong đó t là 1 trong các hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải phương trình:

a) \(2\sin x+1=0\)

b) \(\sin 2x – \cos x =0\)

Giải:

a) $2\sin x+1=0$

$\Leftrightarrow \sin x=-\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x=&-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=&\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi \end{aligned}\right.$

b) $\sin 2x-\cos x=0$

$\Leftrightarrow 2\sin x \cos x-\cos x=0$

$\Leftrightarrow \cos x (2\sin x -1)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\cos x&=0\\ \sin x &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\x=&\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=&\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.$

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng: \(a.t^2+b.t+c=0\;(a\neq 0)\)

Trong đó t là 1 trong các hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải phương trình:

a) \(\tan^2 x-3\tan x+2=0\)

b) \(\sin^2 x-2\cos x +2=0\)

Giải:

a) \(\tan^2 x-3\tan x+2 =0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\tan x&=1\\ \tan x&=2\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&\dfrac{\pi}
{4}+k\pi\\x=&\arctan 2 +k\pi\end{aligned}\right.\)

b) \(\sin^2 x-2\cos x+2=0\\ \Leftrightarrow -\cos^2 x-2\cos x+3=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\cos x = &1\\ \cos x =& -3 \text{ loại}\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow x=k2\pi\)

Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Biến đổi \(f(x)=a\sin x+b\cos x\)

Ta có:

\(f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)\)

Vì \(\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1\) nên đặt:

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\alpha,\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\alpha\)

Khi đó:

$f(x)=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha\sin x+\sin\alpha\cos x)$

$=\sqrt{a^2+b^2}.\sin(x+\alpha)$

Ví dụ: Tìm GTLN – GTNN của hàm số:

\(y=\sin x-\sqrt{3}\cos x+3\)

Ta có:

\(\begin{aligned}y&=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)+3\\&=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}\sin x-\sin\dfrac{\pi}{3}\cos x\right)+3\\&=2sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+3\end{aligned}\)

Dễ thấy: \(1\leq y \leq 5\)

Do đó:

\(\min y=1\text{ khi } x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ \max y=5\text{ khi } x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\)

Phương trình: \(a\sin x+b\cos x=c\)

Đưa phương trình về dạng:

\(\sin (x+\alpha)=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Từ phương trình trên, dễ thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: \(a^2+b^2\geq c^2\)

Ví dụ: Giải phương trình

a) \(\sin x – \cos x=\sqrt{2}\)

b) \(2\sin x+3\cos x=10\)

c) \(\cos 2x +\sqrt{3}\sin 2x=1\)

Giải:

a) \(\sin x- \cos x=\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x=1\\ \Leftrightarrow \cos\dfrac{\pi}{4}\sin x-\sin\dfrac{\pi}{4}\cos x=1\\ \Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1\\ \Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\)

b) \(2\sin x +3\cos x =10\)

Ta có: \(2^2+3^2<10^2\)

Do đó phương trình vô nghiệm

c) \(\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=1\\ \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\dfrac{1}{2}\cos 2x=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin\left( 2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x+\dfrac{\pi}{6}&=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ 2x+\dfrac{\pi}{6}&=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=&k\pi\\x=&\dfrac{\pi}{3}+k\pi\end{aligned}\right.\)

Ví dụ một số phương trình lượng giác thường gặp

Video sửa ví dụ một số phương trình lượng giác thường gặp

Trắc nghiệm một số phương trình lượng giác thường gặp

This quiz is for logged in users only.

Tên người dùng hoặc Địa chỉ Email

Mật khẩu

Tự động đăng nhập

Đăng nhập bằng Google

Sửa bài tập trắc nghiệm một số phương trình lượng giác thường gặp

Video sửa bài tập trắc nghiệm: https://www.youtube.com/watch?v=frLOc_7c99o

Tài liệu

Kênh youtube của thầy Đăng: https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg