Bài 1: Lũy thừa

Học toán online miễn phí với bài giảng “Lũy thừa” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.

Tại đây, các em có thể xem video về bài giảng, làm bài tập trắc nghiệm, xem video sửa bài tập và download file về làm lại lần nữa.

Chúc các em học hiệu quả ^_^

Video giảng dạy bài 1: Lũy thừa

Căn bậc n của một số

Khái niệm:

Cho số thực b và số nguyên dương n (\(n\geq 2\)). Nghiệm của phương trình \(x^n = b\) (nếu có) được gọi là một căn bậc n của b. Một nghiệm trong đó được ký hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).

Nhận xét: Tùy thuộc vào số nghiệm của phương trình mà ta có 1, 2 hoặc không có căn bậc n của b.

Ví dụ 1:

Có 2 căn bậc 4 của 5 là \(\pm \sqrt[4]{5}\) vì \((\pm \sqrt[4]{5})^4 = 5\) (phương trình \(x^4 = 5\) có 2 nghiệm phân biệt).

Có 1 căn bậc 3 của -8 là \(\sqrt[3]{-8} = -2\) vì \((-2)^3 = -8\) (phương trình \(x^3 = -8\) có 1 nghiệm duy nhất).

Không có căn bậc 6 của -10 vì phương trình \(x^6 = -10\) vô nghiệm.

Tính chất của căn bậc n

+ \(\sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a.b}\).

+ \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\).

+ \(\left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}\).

+ \(\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases}a&\text{khi n lẻ}\\|a|&\text{khi n chẵn}\end{cases}\).

+ \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}\).

Ví dụ 2: Tính:

a) \(\sqrt[3]{4} . \sqrt[3]{16}\)

b) \(\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}\).

Giải:

a) \(\sqrt[3]{4} . \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4.16}=\sqrt[3]{2^6} = \sqrt[3]{4^3} = 4\).

b) \(\sqrt{2\sqrt[3]{2 \sqrt[4]{2}}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^4 \sqrt[4]{2}}} = \sqrt[6]{\sqrt[4]{2^{17}}} = \sqrt[24]{2^{17}}\).

Khái niệm lũy thừa

Lũy thừa là một biểu thức có dạng: \(a^\alpha\), trong đó \(a\) được gọi là cơ số, \(\alpha\) được gọi là số mũ.

Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho \(a \in \mathbb R,n \in \mathbb N^*\):

Lũy thừa với số mũ nguyên dương: \(a^n = \underbrace{a.a…a}_{n \text{ thừa số}}\)

Với \(a\neq 0\) ta có: \(\begin{cases}a^0&= 1\\a^{-n}&= \dfrac{1}{a^n}\end{cases}\)

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho \(m \in \mathbb Z,n \in \mathbb N^*\) và số \(a>0\). Khi đó:

\(a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}\)

Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho \(a > 0\) và số vô tỷ \(\alpha\). Gọi \((r_n)\) là một dãy số hữu tỉ có \(\lim r_n = \alpha\). Khi đó:

\(a^\alpha = \lim a^{r_n}\)

Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

+ \(a^\alpha . a^\beta = a^{\alpha+\beta}\).

+ \(\dfrac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha-\beta}\).

+ \(\left(a^\alpha\right)^\beta = a^{\alpha\beta}\).

+ \(a^\alpha.b^\alpha = (ab)^\alpha\).

+ \(\dfrac{a^\alpha}{b^\alpha} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^\alpha\).

So sánh hai lũy thừa có cùng cơ số

• Nếu \(a > 1\) thì \(a^\alpha > a^\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta\).

• Nếu \(0 < a < 1\) thì \(a^\alpha > a^\beta\Leftrightarrow \alpha < \beta\).

So sánh hai lũy thừa có cùng số mũ

Cho \(a, b>0\).

• Nếu \(\alpha > 0\) thì \(a^\alpha > b^\alpha \Leftrightarrow a > b\)

• Nếu \(\alpha<0\) thì \(a^\alpha > b^\alpha \Leftrightarrow a < b\)

Các ví dụ

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức:

a) \(\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-10}.27^{-3}+(0,2)^{-4}.25^{-2}+128^{-1} . \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-9}\)

b) \(\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}\).

Giải:

a) \(\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-10}.27^{-3}+(0,2)^{-4}.25^{-2}+128^{-1} . \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-9}\\ = 3^{10} . \dfrac{1}{27^3}+\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-4} . \dfrac{1}{25^2}+\dfrac{1}{128} . 2^9\\ = \dfrac{3^{10}}{3^9}+\dfrac{5^4}{5^4}+\dfrac{2^9}{2^7}\\ = 3+1+2^2 = 8\).

b) Cách 1: \(\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}} = \sqrt{2\sqrt[3]{2.2^{\frac{1}{4}}}} = \sqrt{2 . 2^{\frac{5}{12}}} = 2^{\frac{17}{24}} = \sqrt[24]{2^{17}}\).

Cách 2: \(\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}} = 2^{\frac{1}{2}}.2^{\frac{1}{6}} . 2^{\frac{1}{24}} = 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}} = 2^{\frac{17}{24}} = \sqrt[24]{2^{17}}\)

Ví dụ 4: Cho \(a,b > 0\).Rút gọn biểu thức:

a) \(\dfrac{a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+a^{-\frac{3}{4}}}\)

b) \(\dfrac{a^{2\sqrt{2}}-b^{2\sqrt{3}}}{a^{2\sqrt{2}}-2a^{\sqrt{2}} . b^{\sqrt{3}}+b^{2\sqrt{3}}}+1\).

Giải:

a) \(\dfrac{a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+a^{-\frac{3}{4}}}\\ = \dfrac{a^{-\frac{1}{2}}(a+1)}{a^{-\frac{3}{4}}(a+1)}\\ = \dfrac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}\)

b) \(\dfrac{a^{2\sqrt{2}}-b^{2\sqrt{3}}}{a^{2\sqrt{2}}-2a^{\sqrt{2}} . b^{\sqrt{3}}+b^{2\sqrt{3}}}+1\\ = \dfrac{(a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}}+b^{\sqrt{3}})}{(a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}})^2}+1\\ = \dfrac{a^{\sqrt{2}}+b^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}}}+1\\ = \dfrac{2 a^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{2}}-b^{\sqrt{3}}}\).

Ví dụ 5: So sánh:

a) \(2^{3000}\) và \(3^{2000}\)

b) \((\sqrt{2}-1)^{1900}\) và \((3-2\sqrt{2})^{1000}\).

Giải:

a) Ta có:

\(2^{3000} = \left( 2^3 \right)^{1000} = 8^{1000}\\3^{2000} = \left( 3^2 \right)^{1000} = 9^{1000}\)

Mà \(8 < 9\Rightarrow 8^{1000} < 9^{1000}\)

Kết luận: \(2^{3000} < 3^{2000}\)

b) Ta có \(3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 \Rightarrow (3-2\sqrt{2})^{1000} = (\sqrt2-1)^{2000}\)

Mà \(0 < \sqrt{2}-1 < 1 \Rightarrow (\sqrt{2}-1)^{1900} > (\sqrt{2}-1)^{2000}\).

Kết luận: \((\sqrt{2}-1)^{1900}>(3-2\sqrt{2})^{1000}\)

Bài tập trắc nghiệm

This quiz is for logged in users only.

Tên người dùng hoặc Địa chỉ Email

Mật khẩu

Tự động đăng nhập

Đăng nhập bằng Google

Video sửa bài tập trắc nghiệm

Sửa bài tập trắc nghiệm bài 1: Lũy thừa

Sửa bài tập trắc nghiệm bài 1 (bổ sung 18-25): Lũy thừa

Tài liệu

Xem video đầy đủ tại Kênh youtube của thầy Đăng