Phần 1: Lý thuyết khối đa diện – Thể tích khối đa diện

Toán 12 hình học chương 1 Phần 1: Lý thuyết khối đa diện – Thể tích khối đa diện

Hình đa diện – Khối đa diện

Hình đa diện: Là hình không gian được tạo bởi một số hữu hạn đa giác thỏa 2 tính chất:

Hai đa giác phân biệt hoặc không có điểm chung, hoặc có 1 đỉnh chung, hoặc có 1 cạnh chung
Mỗi cạnh của các đa giác đều là cạnh chung của đúng 2 đa giác

Ba hình trên là hình đa diện vì thỏa mãn 2 tính chất trên

Hình a và c không phải đa diện vì có cạnh không là cạnh chung của đúng 2 mặt. Hình b không phải đa diện vì có điểm không phải là đỉnh chung của hai đa giác

Khối đa diện: Là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó

Nhận xét: Hình chóp, hình lăng trụ đã được học ở lớp 11 cũng là hình đa diện, nếu lấy cả phần bên trong của nó ta được khối chóp, khối lăng trụ.

Hai đa diện bằng nhau: Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia

Phân chia và lắp ghép các khối đa diện: Một khối đa diện (H) có thể phân chia thành nhiều khối đa diện khác nhỏ hơn, ngược lại các khối đa diện đó có thể ghép lại với nhau thành khối đa diện (H).

Nhận xét: Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành những khối tứ diện.

Mối liên hệ giữa số đỉnh, cạnh, mặt của đa diện:

Gọi $đ, c, m$ lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của đa diện. Khi đó:

$m, đ \geq 4, c \geq 6$

$m < c, đ < c$

$đ+m=c+2$

Nếu mỗi mặt của đa diện có $p$ cạnh thì $pm=2c$

Nếu mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của $q$ mặt thì $qđ=2c$

Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Khối đa diện lồi:

Có hai cách định nghĩa khối đa diện lồi

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc (H)

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu mặt phẳng chứa 1 đa giác bất kỳ chia không gian thành 2 phần, trong đó có một phần chứa hoàn toàn khối đa diện đó

Nhận xét: Các khối lăng trụ, khối chóp là những khối đa diện lồi

Khối đa diện đều

Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau:

Mỗi mặt của nó là một đa giác đều $p$ cạnh
Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng $q$ mặt

Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại $\{p;q\}$

Định lý: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại $\{3;3\}$, $\{4;3\}$, $\{3;4\}$, $\{5;3\}$, $\{3;5\}$. Theo tên gọi lần lượt là tứ diện đều, lục diện đều (hình lập phương), bát diện đều, 12 mặt đều, 20 mặt đều

Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Thể tích khối đa diện

Thể tích khối lăng trụ: $S=B.h$

Thể tích khối chóp: $S=\dfrac{1}{3}B.h$

Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao

Bài toán 1: Cho hình chóp $S.ABC$. Trên đường thẳng $SA, SB, SC$ lấy các điểm $A’, B’, C’$ (không trùng với $S$). Gọi $V, V’$ lần lượt là thể tích khối chóp $S.ABC$ và $S.A’B’C’$. Khi đó:

$\dfrac{V’}{V}=\dfrac{SA’}{SA}\cdot\dfrac{SB’}{SB}\cdot\dfrac{SC’}{SC}$

Chứng minh:

Gọi $H, H’$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A, A’$ lên mặt phẳng $(SBC)$

Khi đó : $S, H, H’$ thẳng hàng và $A’H’//AH$ nên theo định lý Talet ta có:

$\dfrac{A’H’}{AH}=\dfrac{SA’}{SA}$

Ta lại có:

$V’=\dfrac{1}{3}A’H’.S_{\triangle SB’C’}$

$V=\dfrac{1}{3}AH.S_{\triangle SBC}$

Do đó:

$\dfrac{V’}{V}=\dfrac{A’H’}{AH}\cdot \dfrac{S_{\triangle SB’C’}}{S_{\triangle SBC}}$

Mặt khác:

$S_{\triangle SB’C’}=\dfrac{1}{2}SB’.SC’.\sin\widehat{BSC}$

$S_{\triangle SBC}=\dfrac{1}{2}SB.SC.\sin\widehat{BSC}$

Vậy:

$\dfrac{V’}{V}=\dfrac{SA’}{SA}\cdot\dfrac{SB’}{SB}\cdot\dfrac{SC’}{SC}$

Bài toán 2: Cho khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Trên cạnh $AA’, BB’, CC’$ lấy các điểm $M, N, P$ sao cho $\dfrac{AM}{AA’}=x, \dfrac{BN}{BB’}=y, \dfrac{CP}{CC’}=z$. Gọi $V, V’$ lần lượt là thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ và khối đa diện $ABC.MNP$. Khi đó:

$\dfrac{V’}{V}=\dfrac{x+y+z}{3}$

Chứng minh: