Lý thuyết bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Khái niệm

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,\,\,y$ có dạng tổng quát là

$ax+by\le c\,\,\,\,\left( 1 \right)$ ( $ax+by<c$; $ax+by\ge c$; $ax+by>c$ )

trong đó $a,\,\,b,\,\,c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$, $x$ và $y$ là các ẩn số.

Cặp số $\left( {{x}_{o}};{{y}_{o}} \right)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình $ax+by\le c$ nếu mệnh đề $a{{x}_{o}}+b{{y}_{o}}\le c$ là một mệnh đề đúng

2. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $\left( 1 \right)$ được gọi là miền nghiệm của nó.

Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình $ax+by\le c$ như sau (tương tự cho bất phương trình $ax+by\ge c$)

– Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ vẽ đường thẳng $\Delta $: $ax+by=c.$

– Bước 2. Lấy một điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ không thuộc $\Delta $ (ta thường lấy gốc tọa độ $O$)

– Bước 3. Tính $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}$ và so sánh $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}$ với $c.$

– Bước 4. Kết luận

Nếu $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}<c$ thì nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ chứa ${{M}_{0}}$ là miền nghiệm của $ax+by\le c$

Nếu $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}>c$ thì nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ không chứa ${{M}_{0}}$ là miền nghiệm của $ax+by\le c$

Chú ý:

Miền nghiệm của bất phương trình $ax+by<c$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by\le c$ bỏ đi đường thẳng $ax+by=c$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt

II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Khái niệm

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,\,\,y$ mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

2. Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn ta làm như sau:

– Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

– Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.

3. Áp dụng vào bài toán thực tiễn

Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.