Khái niệm về mặt tròn xoay
Sự tạo thành mặt tròn xoay
Trong mặt phẳng $(P)$, cho đường thẳng $d$ và đường $(C)$. Khi quay mặt phẳng $(P)$ quanh đường thẳng $d$ thì đường $(C)$ tạo thành một hình được gọi là mặt tròn xoay.
Đường $(C)$ được gọi là đường sinh, đường thẳng $d$ được gọi là trục của mặt tròn xoay
Mặt nón tròn xoay
Định nghĩa: Trong mặt phẳng $(P)$ cho hai đường thẳng $d$ và $l$ cắt nhau tại điểm $O$ và tạo thành góc $\alpha$. Khi quay mặt phẳng $(P)$ xung quanh $d$ thì đường thẳng $d$ sinh ra một mặt gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh $O$ (gọi tắt là mặt nón). Đường thẳng $d$ được gọi là trục, đường thẳng $l$ gọi là đường sinh và góc $2\alpha$ gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.
Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay
- Cho tam giác $SOA$ vuông tại $O$. Khi quay tam giác xung quanh cạnh $SO$ thì đường gấp khúc $SAO$ tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón). Điểm $S$ gọi là đỉnh của hình nón, độ dài $SO$ gọi là đường cao, độ dài $SA$ gọi là độ dài đường sinh, hình tròn tâm $O$ sinh ra bởi đoạn thẳng $OA$ gọi là mặt đáy, phần mặt tròn xoay sinh ra bởi đoạn thẳng $SA$ gọi là mặt xung quanh của hình nón.
- Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó
Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình nón, khối nón tròn xoay
- $S_{xq}=\dfrac{1}{2}p.l=\pi.r.l$
- $S_{tp}=S_{xq}+S_đ=\pi.r.l+\pi.r^2$
- $V=\dfrac{1}{3}S_{đ}.h=\dfrac{1}{3}\pi.r^2.h$
Trong đó: $r,p$ là bán kính, chu vi đường tròn đáy, $l$ là độ dài đường sinh, $h$ là đường cao của hình nón
Nhận xét: Nếu quay tam giác $ABC$ (kể cả phần bên trong của nó) quanh trục $BC$ ta được một khối tròn xoay có thể tích là
$V=\dfrac{1}{3}\pi.AH^2.BC$
Trong đó $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$
Mặt trụ tròn xoay
Định nghĩa: Trong mặt phẳng $(P)$ cho hai đường thẳng $d$ và $l$ song song với nhau, cách nhau một khoảng là $r$. Khi quay mặt phẳng $(P)$ quanh đường thẳng $d$ thì đường thẳng $l$ sinh ra một mặt gọi là mặt trụ tròn xoay (gọi tắt là mặt trụ). Đường thẳng $d$ gọi là trục, đường thẳng $l$ gọi là đường sinh, $r$ là bán kính của mặt trụ.
Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
- Cho hình chữ nhật $ABCD$. Khi quay hình đó quanh đường thẳng chứa cạnh $AD$ thì đường gấp khúc $ABCD$ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay (gọi tắt là hình trụ). Hai đường tròn sinh ra bởi đoạn thẳng $AB$ và $CD$ được gọi là hai đáy của hình trụ, khoảng cách giữa hai đáy gọi là đường cao, phần mặt tròn xoay sinh ra bởi cạnh $BC$ gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
- Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi hình trụ kể cả hình trụ đó.
Diện tích xung quanh,diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ, khối trụ
- $S_{xq}=\dfrac{1}{2}p.h=2\pi.r.l$
- $S_{tp}=S_{xq}+2S_đ=2\pi.r.l+2\pi.r^2$
- $V=S_đ.h=\pi.r^2.h$
Trong đó: $r,p$ là bán kính, chu vi của đường tròn đáy, $h$ và $l$ là độ dài đường cao và đường sinh của hình trụ (trong hình trụ thì $h=l$)
