Bài 4: Hàm số mũ – Hàm số logarit

Học toán online miễn phí với bài giảng “Hàm số mũ – Hàm số Logarit” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.

Tại đây, các em có thể xem video về bài giảng, làm bài tập trắc nghiệm, xem video sửa bài tập và download file về làm lại lần nữa.

Chúc các em học hiệu quả ^_^

Video giảng dạy bài 4: Hàm số mũ – Hàm số logarit

Hàm số mũ

Định nghĩa

Cho số thực \(a>0,a\neq 1\)

Hàm số \(y =a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

Đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số \(y = a^x\) với \(a > 0, a \neq 1\) có đạo hàm trên \(\mathbb R\) và:

$(e^x)’ = e^x$

$(a^x)’ = a^x.\ln a$

Với \(u = u(x)\) ta có:

\((e^u)’ = u’.e^u\\(a^u)’ = u’.a^u.\ln a\)

Tính chất của hàm số $y = a^x\;(a > 0,a \neq 1)$

Tập xác định: \(D = \mathbb R\).

Tập giá trị: \((0; +\infty)\), tức là \(y = a^x > 0\;\forall x\in \mathbb R\).

Tính đơn điệu: Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb R\) nếu \(a > 1\) và luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\) nếu \(0 < a < 1\).

Đồ thị hàm số: nhận trục Ox làm tiệm cận ngang; luôn đi qua \(A(0;1)\) và \(B(1;a)\) ; đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành.

Hàm số logarit

Định nghĩa

Cho số thực \(a > 0,a \neq 1\)

Hàm số \(y = \log_a x\) được gọi là hàm số logarit cơ số \(a\).

Đạo hàm của hàm số logarit

Hàm số \(y = \log_a x\) có đạo hàm trên \((0; +\infty)\) và:

\((\ln x)’ = \dfrac{1}{x}\\(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x\ln a}\)

Với \(u = u(x)\) thỏa điều kiện \(u(x) > 0\) ta có:

\((\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}\\(\log_a u)’ = \dfrac{u’}{u\ln a}\)

Lưu ý: Với \(x\neq 0\) ta cũng có:

\((\ln |x|)’ = \dfrac{1}{x}\\(\log_a |x|)’ = \dfrac{1}{x\ln a}\)

Tính chất của hàm số \(y = \log_a x\;(a > 0,a \neq 1)\)

Tập xác định: \(D = (0; +\infty)\)

Tập giá trị: \(\mathbb R\)

Tính đơn điệu: Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb R\) nếu \(a > 1\) và luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\) nếu \(0<a<1\).

Đồ thị hàm số: nhận trục Oy làm tiệm cận đứng; luôn đi qua \(A(1;0)\) và \(B(a;1)\); đồ thị luôn nằm bên phải trục Oy

Nhận xét: Đồ thị các hàm số \(y=a^x\) và \(y=\log_a x\) ( với \(a>0,a\neq 1\)) luôn đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=x\)

Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \log_4(2x-1)\).

b) \(y = \ln (4x-x^2)\).

c) \(\sqrt{\log_{0,3}(2x-1)}\).

Giải:

a) \(y=\log_4(2x-1)\)

Điều kiện xác định: \(2x-1>0\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}\)

Vậy tập xác định của hàm số: \(D=\left( \dfrac{1}{2}; + \infty \right)\).

b) \(y=\ln (4x-x^2)\)

Điều kiện xác định: \(4x-x^2 > 0\Leftrightarrow 0<x<4\)

Vậy tập xác định của hàm số: \(D=(0;4)\).

c) \(\sqrt{\log_{0,3}(2x-1)}\)

Điều kiện xác định: \(\begin{cases}2x-1&>0\\ \log_{0,3}(2x-1)&\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0<2x-1\leq 1\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<x\leq 1\)

Vậy tập xác định của hàm số: \(D=\left( \dfrac{1}{2};1 \right]\)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y=x.e^x\).

b) \(y=2^{x^2+x-2}\).

c) \(y=\log (x^2-2x+3)\).

d) \(y=x^x\).

Giải:

a) \(y=x.e^x\\y’=x’.e^x+x.(e^x)’=e^x+x.e^x=e^x(1+x)\)

b) \(y=2^{x^2+x-2}\\ \begin{aligned}y’&=(x^2+x-2)’.2^{x^2+x-2}.\ln 2 \\ &= (2x+1).2^{x^2+x-2}.\ln 2\end{aligned}\)

c) \(y=\log (x^2-2x+3)\\ \begin{aligned}y’&=\dfrac{(x^2-2x+3)’}{(x^2-2x+3).\ln 10}\\ &=\dfrac{2x-2}{(x^2-2x+3).\ln 10}\end{aligned}\)

d) \(y=x^x=e^{\ln x^x}=e^{x\ln x}\\y’=(x\ln x)’.e^{x\ln x}=(\ln x+1).x^x\)

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số \(y=\log_5(x^2+2x+m+3)\) có tập xác định là \(\mathbb R\)

Giải:

Để hàm số có tập xác định là \(\mathbb R\) thì:

\(x^2+2x+m+3>0\;\forall x \in \mathbb R\\ \Leftrightarrow \Delta’ \leq 0 \Leftrightarrow 1-(m+3)\leq 0 \Leftrightarrow m \geq -2\)

Bài tập trắc nghiệm: Hàm số mũ – Hàm số logarit

This quiz is for logged in users only.

Tên người dùng hoặc Địa chỉ Email

Mật khẩu

Tự động đăng nhập

Đăng nhập bằng Google

Video sửa bài tập trắc nghiệm

Kênh youtube sửa bài tập: https://youtu.be/J3CbB8Md-ws

Tài liệu

Xem video các bài giảng của thầy Đăng tại: https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg