Bài 2: Hàm số lũy thừa

Học toán online miễn phí với bài giảng “Hàm số lũy thừa” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.

Tại đây, các em có thể xem video về bài giảng, làm bài tập trắc nghiệm, xem video sửa bài tập và download file về làm lại lần nữa.

Chúc các em học hiệu quả ^_^

Video giảng dạy bài 2: Hàm số lũy thừa

Khái niệm hàm số lũy thừa

Dạng: y=x^\alpha với \alpha\in\mathbb R

Lưu ý: Tập xác định của hàm số y=x^\alpha tùy thuộc vào giá trị của \alpha. Cụ thể:

  • Với \alpha nguyên dương, tập xác định là \mathbb R.
  • Với \alpha nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \mathbb R\setminus\{0\}.
  • Với \alpha không nguyên, tập xác định là (0;+\infty).

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số:

a) y=(x^2+3x-1)^5.

b) y=(x^2+2x-3)^{-3}.

c) y=(x-1)^{\frac{1}{3}}.

Giải:

a) y=(x^2+3x-1)^5

Vì số mũ của hàm số là một số nguyên dương, mà biểu thức y=x^2+3x-1 luôn có nghĩa với mọi x\in\mathbb R nên tập xác định của hàm số là D=\mathbb R.

b) y=(x^2+2x-3)^{-3}

Vì số mũ của hàm số là một số nguyên âm, nên điều kiện để hàm số có nghĩa là:

x^2+2x-3\neq 0\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq 1\\x\neq -3\end{cases}

Do đó tập xác định của hàm số là: D=\mathbb R\setminus\{-3;1\}.

c) y=(x-1)^{\frac{1}{3}}

Vì số mũ của hàm số là một số không nguyên, nên điều kiện để hàm số có nghĩa là:

x-1>0\Leftrightarrow x>1

Vậy tập xác định của hàm số là D=(1;+\infty).

Lưu ý: \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}} chỉ khi x>0

Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Cho hàm số y=x^\alpha\;(\alpha\in\mathbb R) có tập xác định D

Khi đó: y'=(x^\alpha)'=\alpha.x^{\alpha-1} với mọi x\in D

Với u=u(x) thỏa điều kiện tương ứng với \alpha thì:

(u^\alpha)'=\alpha.u^{\alpha-1}.u'.

Nhận xét: (\sqrt[n]{x})'=\dfrac{1}{n.\sqrt[n]{x^{n-1}}}\;(x \neq 0)

Ví dụ 2:

a) (x^{-1})'=-1.x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}\;(x\neq 0).

b) (x^{\sqrt{2}})'=\sqrt{2}.x^{\sqrt{2}-1}\;(x>0).

c) (\sqrt[3]{x})'=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\;(x\neq 0).

d) (\sqrt[4]{x})'=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}\;(x>0).

e) \left((3x-1)^{\frac{2}{3}}\right)'=\dfrac{2}{3}.(3x-1)^{-\frac{1}{3}}.(3x-1)'=\dfrac{2}{\sqrt[3]{3x-1}}\;(x>\dfrac{2}{3}).

f) ( \sqrt[5]{x^2+2x-3})' = \dfrac{(x^2+2x-3)'}{5. \sqrt[5]{(x^2+2x-3)^4}} = \dfrac{2x+2}{5 \sqrt[5]{(x^2+2x-3)^4}}\;(x \in \mathbb R \setminus \{ -3;1 \}).

Khảo sát hàm số lũy thừa y = x^\alpha

Xét hàm số y=x^\alpha trên (0;+\infty) ta có bảng tóm tắt sau:

ham-so-luy-thua-01

Hình dáng đồ thị hàm số y=x^\alpha trên (0;+\infty)

ham-so-luy-thua-02

Lưu ý: Khi khảo sát một hàm số cụ thể, ta cần phải khảo sát trên tập xác định của nó

Ví dụ 3: Khảo sát đồ thị của các hàm số sau:

a) y=x^{-2}.

b) y=x^{\frac{1}{3}}.

Giải:

a) y=x^{-2}

Tập xác định: D=\mathbb R\setminus \{0\}\\y'=-2.x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}.

Bảng biến thiên:

ham-so-luy-thua-03

Đồ thị:

ham-so-luy-thua-04

b) y=x^{\frac{1}{3}}

Tập xác định: D=(0;+\infty)\\y'=\dfrac{1}{3} . x^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}>0\;\forall x \in (0;+\infty)

Bảng biến thiên:

ham-so-luy-thua-05

Đồ thị:

ham-so-luy-thua-06

Bài tập trắc nghiệm: Hàm số lũy thừa

This quiz is for logged in users only.


Video sửa bài tập trắc nghiệm

Đường link youtube: https://youtu.be/SYlbKq6qr0U

Tài liệu

Xem video đầy đủ các bài giảng của thầy Đăng tại https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg

1 bình luận về “Bài 2: Hàm số lũy thừa”

Viết một bình luận