Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Học toán online miễn phí với bài giảng “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.

Hãy làm bài tập trắc nghiệm trước ngày 07/10/2021 để có cơ hội nhận phần thưởng nhé

Chúc các em học hiệu quả ^_^

Video giảng dạy bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên D.

+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên D nếu: \(\begin{cases}f(x)\leq M\,\,\,\forall x\in D\\ \exist x_o\in D:f(x_o)=M\end{cases}\)

+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên D nếu: \(\begin{cases}f(x)\geq M\,\,\,\forall x\in D\\ \exist x_o\in D:f(x_o)=m\end{cases}\)

Ký hiệu giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(M=\max\limits_D f(x)\) và \(m=\min\limits_D f(x)\).

Phân biệt giữa giá trị cực đại và giá trị lớn nhất (tương tự với giá trị cực tiểu và giá trị nhỏ nhất)

Giá trị cực đại	Giá trị lớn nhất
+ Là giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng lân cận. + Một hàm số có thể có nhiều giá trị cực đại.	+ Là giá trị lớn nhất của hàm số trên toàn khoảng, đoạn mà ta đang xét. + Một hàm số chỉ có tối đa một giá trị lớn nhất.

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \([0;+\infty)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Từ bảng biến thiên dễ thấy \(\max\limits_{[0;+\infty)} y=5\) khi \(x=3\) và hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \([0;+\infty)\) vì không tồn tại giá trị \(x_o\) để \(f(x_o)=1\).

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (nếu có):

a) \(y=x^4-2x^2+3\).

b) \(y=x+\dfrac{1}{x}\) trên \((-\infty;0)\).

Giải:

a) \(y=x^4-2x^2+3\)

Tập xác định: \(y’=4x^3-4x\\y’=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=&0\\x=&\pm 1\end{matrix}\right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta nói giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, ký hiệu \(\min\limits_{\mathbb R}y =2\) hoặc ghi \(\min y=2\) khi \(x=\pm 1\), hàm số không có giá trị lớn nhất.

Lưu ý: Ở đây 3 chỉ là giá trị cực đại của hàm số chứ không phải là giá trị lớn nhất.

b) \(y=x+\dfrac{1}{x}\)

Trên \((-\infty;0)\) ta có:

\(y’=1-\dfrac{1}{x^2}\\y’=0\Leftrightarrow x=-1\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có \(\max\limits_{(-\infty;0)}y=-2\) khi \(x=-1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \((-\infty;0)\)

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Định lý:

Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) thì luôn tồn tại giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta thường áp dụng theo quy tắc sau:

+ Tìm các điểm \(x_1,x_2,…\in[a;b]\) mà tại đó \(f'(x)=0\) hoặc không xác định.

+ Tính \(f(x_1),f(x_2),…,f(a),f(b)\).

+ Gọi M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên. Khi đó \(\max\limits_{[a;b]}y=M,\min\limits_{[a;b]}=m\).

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

a) \(y=x^3+x^2-5x+1\) trên đoạn \([0;3]\)

b) \(y=\sqrt{4x-x^2}\)

c) \(y=\dfrac{\sin x-1}{\sin x+2}\)

Giải:

a) \(y=x^3+x^2-5x+1\)

Trên \([0;3]\):

\(y’=3x^2+2x-5\\y’=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x&=&1\\x&=&-5\,\,&\text{(loại)}\end{matrix}\right.\)

Tính \(y(1)=-2,\,y(0)=1,\,y(3)=22\)

Vậy \(\max\limits_{[0;3]}y=22\,\,\text{khi} \,\,x=3\\ \min\limits_{[0;3]}y=-2\,\,\text{khi}\,\, x=1\).

b) \(y=\sqrt{4x-x^2}\)

Tập xác định: \(D=[0;4]\\y’=\dfrac{2-x}{\sqrt{4x-x^2}}\,x\in (0;4)\\y’=0\Leftrightarrow x=2\)

Tính \(y(2)=2,\,y(0)=y(4)=0\).

Vậy \(\max\limits_{[0;4]}y=2\,\,\text{khi}\,\,x=2\\ \min\limits_{[0;4]}y=0\,\,\text{khi}\,\,x=0\,\,\text{hoặc}\,\,x=4\).

c) \(y=\dfrac{\sin x-1}{\sin x+2}\)

Tập xác định: \(D=\mathbb R\).

Đặt \(t=\sin x\) với \(t\in [-1;1]\). Khi đó:

\(y=\dfrac{t-1}{t+2}=f(t)\).

Như vậy \(\max\limits_{\mathbb R}y=\max\limits_{[-1;1]}f(t),\,\,\min\limits_{\mathbb R}y=\min\limits_{[-1;1]}f(t)\)

Do đó bài toán trở thành là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(t)\) trên đoạn \([-1;1]\)

Ta có \(f'(t)=\dfrac{3}{(t+2)^2} > 0\,\,\forall x\in [-1;1]\) nên hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \([-1;1]\)

Vậy \(\max y=\max\limits_{[-1;1]}f(t)=f(1)=0\) khi \(t=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(\min y=\min\limits_{[-1;1]}f(t)=f(-1)=-2\) khi \(t=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

Video các dạng toán thường gặp

Bài tập trắc nghiệm: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đồ thị hàm số

This quiz is for logged in users only.

Tên người dùng hoặc Địa chỉ Email

Mật khẩu

Tự động đăng nhập

Đăng nhập bằng Google

Video sửa bài tập trắc nghiệm

Xem video sửa bài tập trắc nghiệm tại kênh youtube: https://youtu.be/QkfRpCki3Vw

Tài liệu

Theo dõi kênh youtube của thầy Đăng tại https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg