Bài 4: Đường tiệm cận

Học toán online miễn phí với bài giảng “Đường tiệm cận” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.

Hãy làm bài tập trắc nghiệm trước ngày 12/10/2021 để có cơ hội nhận phần thưởng nhé

Chúc các em học hiệu quả ^_^

Video giảng dạy bài 4: Đường tiệm cận

Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa: Đường thẳng \(y=y_o\) là một đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}y=y_o\) ( hoặc \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}y=y_o\)) .

Nhận xét:

+ Một đồ thị hàm số chỉ có tối đa hai đường tiệm cận ngang.

+ Trên hệ trục tọa độ, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là một đường thẳng nằm ngang mà đồ thị của hàm số tiến sát về đường thẳng đó (bên phải hoặc bên trái) mà không chạm vào đường thẳng đó.

Đường tiệm cận đứng

Định nghĩa: Đường thẳng \(x=x_o\) được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu: \(\lim\limits_{x\rightarrow x^\pm_o}y=\pm\infty\)

Nhận xét:

+ Một hàm số có tiệm cận đứng khi nó có ẩn ở mẫu (trừ hàm tan và cot). Khi đó đồ thị hàm số có số tiệm cận đứng tối đa là số nghiệm của mẫu.

+ Trên hệ trục tọa độ, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là một đường thẳng thẳng đứng mà đồ thị của hàm số tiến sát về đường thẳng đó (phía trên hoặc phía dưới) mà không chạm vào đường thẳng đó.

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Hàm số \(y=\dfrac{x}{|x-2|}\) có đồ thị như hình vẽ:

Dựa vào đồ thị ta có thể kết luận được:

Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\) và \(y=-1\).

Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=2\).

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận được:

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=0\)

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=0\) và \(x=2\)

Ví dụ 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau (nếu có):

a) \(y = \dfrac{2x+1}{x-1}\)

b) \(y = \dfrac{3x+6}{\sqrt{x^2+x-2}}\)

c) \(y = \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+1}\)

Giải:

a) \(y = \dfrac{2x+1}{x-1}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb R\setminus \{1\}\)

Ta có \(\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty} = 2\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = 2\).

\(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} = +\infty,\,\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} = -\infty\) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x=1\).

Nhận xét: Đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (với \(ad-bc\neq 0,\,c\neq 0\)) luôn có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng là \(y=\dfrac{a}{c}\) và \(x=-\dfrac{d}{c}\).

b) \(y=\dfrac{3x+6}{\sqrt{x^2+x-2}}\)

Tập xác định: \(D=(-\infty;-2)\cup (1;+\infty)\).

\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{3+\frac{6}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}}=3\\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{3+\frac{6}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}}=-3\)

Suy ra đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là \(y=\pm 3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}y=+\infty,\,\lim\limits_{x\rightarrow -2^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow -2^-}\left[-3.\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}\right]=0\).

Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là \(x=1\).

c) \(y=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+1}\)

Dễ thấy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=1\\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{2-\frac{1}{x}}{-\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-1\)

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là \(y=\pm 1\)

Video các dạng toán thường gặp

Bài tập trắc nghiệm: Đường tiệm cận

This quiz is for logged in users only.

Tên người dùng hoặc Địa chỉ Email

Mật khẩu

Tự động đăng nhập

Đăng nhập bằng Google

Video sửa bài tập trắc nghiệm

Kênh youtube sửa bài tập trắc nghiệm của thầy Đăng: https://youtu.be/nLzvWMq-8×8

Tài liệu

Xem và chia sẻ kênh youtube của thầy Đăng