Học toán online miễn phí với bài giảng “Cực trị của hàm số” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.
Các em hãy vào trang https://hochieuqua.edu.vn/lessons/bai-2-cuc-tri-cua-ham-so/ để xem bài học được cập nhật mới hơn nhé
Chúc các em học hiệu quả ^_^
Mục lục
Video giảng dạy Bài 2: Cực trị của hàm số
Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa: Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên khoảng \((a;b)\) (a có thể là \(-\infty\), b có thể là \(+\infty\)) và điểm \(x_o\in (a;b)\)
+ Nếu tồn tại \(h > 0:f(x) < f(x_o)\,\,\forall x\in(x_o-h;x_o+h)\setminus \{x_o\}\) thì ta nói hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_o\).
+ Nếu tồn tại \(h > 0:f(x) > f(x_o)\,\,\forall x\in(x_o-h;x_o+h)\setminus \{x_o\}\) thì ta nói hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_o\).
Hiểu đơn giản là nếu \(f(x_o)\) lớn nhất trong một khoảng nào đó chứa \(x_o\) thì hàm số đạt cực đại tại \(x_o\). Ngược lại thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x_o\).
Ví dụ: Xét một hàm số có đồ thị như hình vẽ:
Dựa vào đồ thị, ta nói hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(x=4\) ; hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\)
Chú ý:
+ Nếu hàm số đạt cực đại tại \(x_o\) thì \(x_o\) được gọi là điểm cực đại của hàm số, \(f(x_o)\) gọi là giá trị cực đại của hàm số, Điểm \(M(x_o;f(x_o))\) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Tương tự với điểm cực tiểu.
+ Cực trị là từ gọi chung của cực đại và cực tiểu.
+ Nếu hàm số đạt cực trị tại \(x_o\) thì \(f'(x_o)=0\) hoặc không xác định.
Các định lý về cực trị của hàm số
(Các định lý ở đây được phát biểu theo cách dễ hình dung hơn so với trong sách giáo khoa)
Định lý 1
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng K chứa \(x_o\) và có đạo hàm trên K (hoặc trên \(K\setminus \{x_o\}\)
+ Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ + sang – khi đi qua \(x_o\) thì \(x_o\) là một điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
+ Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ – sang + khi đi qua \(x_o\) thì \(x_o\) là một điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
Định lý 2
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trong một khoảng nào đó chứa \(x_o\). Khi đó:
+ Nếu \(\begin{cases}f'(x_o)=0\\f”(x_o) > 0\end{cases}\) thì \(x_o\) là điểm cực tiểu.
+ Nếu \(\begin{cases}f'(x_o)=0\\f”(x_o) < 0\end{cases}\) thì \(x_o\) là điểm cực đại.
+ Nếu \(\begin{cases}f'(x_o)=0\\f”(x_o)\neq 0\end{cases}\) thì \(x_o\) là điểm cực trị.
Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính \(f'(x)\). Tìm những điểm mà tại đó \(f'(x)=0\) hoặc không xác định.
+ Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra các điểm cực trị của hàm số.
Quy tắc 2
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm \(x_1;x_2;…\) của phương trình \(f'(x)=0\).
+ Tính \(f”(x)\) rồi từ đó tính các giá trị \(f”(x_1);f”(x_2);…\).
+ Dựa vào dấu của \(f”(x_1);f”(x_2);…\) để biết được các điểm đó là cực đại, cực tiểu hay không phải là cực trị.
Nhận xét:
+ Đối với những hàm số có thể lập được bảng biến thiên thường người ta hay dùng quy tắc 1. Cách này khá nhanh và đơn giản.
+ Đối với những hàm số không thể lập được bảng biến thiên, hoặc việc lập bảng biến thiên khá phức tạp người ta thường dùng quy tắc 2. Ngoài ra, những bài toán tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu, cực trị tại một điểm nào đó người ta cũng thường dùng cách 2.
Các ví dụ về cực trị của hàm số
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số:
a) \(y=x^4-2x^2+3\).
b) \(y=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+4x-5\).
c) \(y=\dfrac{x-1}{x+2}\).
d) \(y=2\sin{x}-x\).
e) \(y=4x^5-5x^4\)
Giải:
a) \(y=x^4-2x^2+3\)
Tập xác định: \(D=\mathbb R\\y’=4x^3-4x\\y’=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=0\\x=\pm 1\end{matrix}\right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta kết luận hàm số đạt cực đại tại \(x=0\). Giá trị cực đại là \(f(0)=3\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm 1\). Giá trị cực tiểu là \(f(\pm 1)=2\).
Nếu dùng quy tắc 2 thì thay vì lập bảng biến thiên ta tính \(y”=12x-4\).
Sau đó ta tính \(f”(0)=-4 < 0, f”(\pm 1)=8 > 0\) thì cũng có kết luận tương tự.
b) \(y=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+4x-5\)
Tập xác định: \(D=\mathbb R\\y’=x^2-4x+4\\y’=0\Leftrightarrow x=2\).
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta kết luận hàm số không có cực trị.
c) \(y=\dfrac{x-1}{x+2}\)
Tập xác định: \(D=\mathbb R\setminus \{-2\}\\y’=\dfrac{3}{(x+2)^2} > 0\,\,\forall x \neq{-2}\).
Ở bài này, không cần lập bảng biến thiên hay tính \(y”\) ta cũng có thể kết luận hàm số không có cực trị.
d) \(y=2\sin{x}-x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb R\\y’=2\cos{x}-1\\y’=0\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\).
Ở bài này nếu ta lập bảng biến thiên thì hơi rắc rối vì phương trình \(y’=0\) có vô số nghiệm.
Do đó ta tính \(y”=-2\sin{x}\).
\(y”\left(\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\right)=-\sqrt{3} < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\).
\(y”\left(-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\right)=\sqrt{3} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\).
e) \(y=4x^5-5x^4\)
Tập xác định: \(D=\mathbb R\\y’=20x^4-20x^3\\y’=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x&=&0\\x&=&1\end{matrix}\right.\)
Lập bảng biến thiên ta có: hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và đạt cực tiểu tại \(x=1\)
Lưu ý: Trong một số trường hợp, mặc dù \(f”(x_o)=0\) nhưng hàm số vẫn đạt cực trị tại \(x_o\) (trường hợp \(x_o\) là nghiệm bội 3, 5, 7,… của phương trình \(y’=0\)), nên đối với trường hợp này ta bắt buộc phải dùng quy tắc 1.
Ở đây khi dùng quy tắc 2, ta sẽ có được \(y”(0)=0\) và sẽ là sai nếu ta kết luận rằng hàm số không đạt cực trị tại \(x=0\).
Nhận xét:
+ Hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\,\,(a\neq 0)\) có 1 điểm cực trị khi \(a.b\geq 0\) và có điểm 3 cực trị (gồm điểm 2 cực đại 1 điểm cực tiểu nếu \(a < 0\), gồm điểm 1 cực đại 2 điểm cực tiểu nếu \(a > 0\)) khi \(a.b < 0\).
+ Hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\,\,(a\neq 0)\) có 2 điểm cực trị (gồm 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu) khi phương trình \(y’=0\) có 2 nghiệm phân biệt \((\Delta > 0)\) và không có cực trị khi phương trình \(y’=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \((\Delta\leq 0)\).
+ Hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) luôn không có cực trị.
+ Nếu \(x_o\) là nghiệm bội lẻ (1; 3; 5;…) của phương trình \(y’=0\) thì hàm số đạt cực trị tại \(x_o\), ngược lại nếu \(x_o\) là nghiệm bội chẵn (2; 4; 6;…) của phương trình \(y’=0\) thì hàm số không đạt cực trị tại \(x_o\).
Ví dụ 2: Tìm tham số m để hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-(m+1)x^2+(m^2+2m)x+1\) đạt cực tiểu tại \(x=2\).
Giải:
Tập xác định: \(D=\mathbb R\\y’=x^2-2(m+1)x+m^2+2m\\y”=2x-2m-2\).
Để hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\) thì:
\(\begin{cases}y'(2)=0\\y”(2) > 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m^2-2m=0\\2-2m > 0\end{cases}\Leftrightarrow m=0\).
Vậy để hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\) thì \(m=0\)
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số \(y=mx^4+(m^2-9)x^2+1\) có 2 điểm cực đại.
Giải:
Theo nhận xét ở phần trên, để hàm số có 2 điểm cực đại tức là có 3 điểm cực trị (gồm 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu)thì \(a.b < 0\) và \(a < 0\)
Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại khi và chỉ khi:
\(\left[ \begin{matrix}m < 0\\m^2-9 > 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m < -3\)Vậy để hàm số có 2 điểm cực đại thì \(m < -3\).
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số \(y=x^3-2x^2+(m+3)x-1\) không có cực trị.
Giải:
Tập xác định: \(D=\mathbb R\\y’=3x^2-4x+m+3\).
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi \(\Delta’=4-3(m+3)\leq 0\Leftrightarrow -3m-5\leq 0\Leftrightarrow m\geq -\dfrac{5}{3}\).
Vậy để hàm số không có cực trị thì \(m\geq -\dfrac{5}{3}\)
Video các dạng toán thường gặp
Bài tập trắc nghiệm: Cực trị của hàm số
This quiz is for logged in users only.
Video sửa bài tập trắc nghiệm
Xem video sửa bài tập tại: https://youtu.be/cGnfQSVIhqE
Tài liệu
Các em nếu không muốn làm trực tiếp trên website thì download file dưới đây về làm và nhớ là in ra giấy rồi hãy làm nha.
Xem video tại https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg
Bạn nào có thắc mắc hay góp ý gì xin hãy để lại bình luận dưới đây nhé