Học toán online miễn phí với bài giảng “Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.
Tại đây, các em có thể xem video về bài giảng, làm bài tập trắc nghiệm, xem video sửa bài tập và download file về làm lại lần nữa.
Chúc các em học hiệu quả ^_^
Mục lục
Video giảng dạy bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit
Bất phương trình mũ
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng: \(a^x>b\) hoặc \(a^x \geq b\) hoặc \(a^x<b\) hoặc \(a^x \leq b\) (với \(a > 0,a \neq 1\))
Vì \(a^x > 0 \;\forall x \in \mathbb R\) nên nếu \(b \leq 0\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb R\) hoặc vô nghiệm (tùy vào dấu của bất phương trình là > hay <)
Với \(b > 0\), ta có hai trường hợp:
Nếu \(a>1\) ta có: \(a^x > b \Leftrightarrow x > \log_a b\)
Nếu \(0 < a < 1\) ta có: \(a^x > b \Leftrightarrow x < \log_a b\)
Tương tự với các dạng khác của bất phương trình
Người ta cũng thường đưa bất phương trình mũ về dạng: \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\)
Nếu \(a > 1\) thì \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)
Nếu \(0 < a <1\) thì \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)\)
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
a) \(2^x < 3\)
b) \(0,3^x < 1\)
c) \((\sqrt{2}-1)^{x^2+3x} \geq (3+2\sqrt{2})^{x+2}\)
d) \(2^{x^2}.3^{x+1} \leq 2\)
Giải:
a) \(2^x < 3 \Leftrightarrow x < \log_2 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = (-\infty;\log_2 3)\)
b) \(0,3^x < 1 \Leftrightarrow x > \log_{0,3} 1 \Leftrightarrow x > 0\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=(0;+\infty)\)
c) $(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x} \geq (3+2\sqrt{2})^{x+2} $
$ \Leftrightarrow (\sqrt{2}-1)^{x^2+3x} \geq (\sqrt{2}-1)^{2x+2} $
$ \Leftrightarrow x^2+3x \leq 2x+2 $
$ \Leftrightarrow x^2+x-2 \leq 0 $
$ \Leftrightarrow -2\leq x \leq 1$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=[-2;1]\)
d) $2^{x^2}.3^{x+1} \leq 2 $
$ \Leftrightarrow \log_2 (2^{x^2}.3^{x+1}) \leq \log_2 2 $
$ \Leftrightarrow x^2+(x+1)\log_2 3 \leq 1 $
$ \Leftrightarrow x^2 +x.\log_2 3 +\log_2 3 -1 \leq 0$
$ \Leftrightarrow -1\leq x \leq 1-\log_2 3$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=[-1;1-\log_2 3]\)
Bất phương trình logarit
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng: \(\log_a x < b\) hoặc \(\log_a x >b\) hoặc \(\log_a x \leq b\) hoặc \(\log_a x \geq b\) (với \(a>0,a\neq 1\))
Có hai trường hợp:
Nếu \(a > 1\) thì \(\log_a x < b \Leftrightarrow 0 < x < a^b\)
Nếu \(0 < a <1\) thì: \(\log_a x < b \Leftrightarrow x > a^b\)
Tương tự với các dạng bất phương trình khác
Người ta cũng thường đưa bất phương trình logarit về dạng: \(\log_a f(x) < \log_a g(x)\)
Nếu \(a>1\) thì \(\log_a f(x) < \log_a g(x) \Leftrightarrow 0 < f(x) < g(x)\)
Nếu \(0<a<1\) thì \(\log_a f(x) < \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0\)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
a) \(\log_{0,5} x >-3\)
b) \(\log_{\sqrt{2}} (x-1)\geq \log_2(3x+1)\)
c) \(\log_2(4^x+4)>x+ \log_2 (2^{x+1}-3)\)
Giải:
a) \(\log_{0,5}x>-3 \Leftrightarrow 0<x<0,5^{-3} \Leftrightarrow 0<x<8\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=(0;8)\).
b) \(\log_{\sqrt{2}} (x-1)\geq \log_2 (3x+1)\)
Điều kiện: $\begin{cases}x-1&>0\\3x+1&>0\end{cases}\Leftrightarrow x>1$
Phương trình tương đương:
$\log_2 (x-1)^2 \geq \log_2 (3x+1)$
$ \Leftrightarrow x^2-2x+1 \geq 3x+1$
$ \Leftrightarrow x^2-5x \geq 0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&\leq 0\\x&\geq 5\end{aligned} \right.$
So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: \([5;+\infty)\)
c) \(\log_2(4^x+4)>x+\log_2 (2^{x+1}-3)\)
Điều kiện: \(2^{x+1}-3 >0 \Leftrightarrow x > \log_2 \dfrac{3}{2}\)
Lấy mũ hai vế với cơ số 2 ta được:
$2^{\log_2(4^x+4)}>2^x.2^{\log_2 (2^{x+1}-3)} $
$ \Leftrightarrow 4^x+4>2^x.(2^{x+1}-3)$
Đặt \(t=2^x, \;(t>0)\), phương trình trở thành:
$t^2+4>t(2t-3)$
$ \Leftrightarrow t^2-3t-4<0$
$ \Leftrightarrow -1<t<4$
Do \(t>0\) nên ta có: $0<t<4 $
$ \Leftrightarrow 0<2^x<4$
$ \Leftrightarrow x<2$
So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=\left(\log_2 \dfrac{3}{2}; 2\right)\)
Video cách giải bất phương trình mũ và logarit bằng xét dấu
Bài tập trắc nghiệm: Bất phương trình mũ – Bất phương trình logarit
This quiz is for logged in users only.
Video sửa bài tập trắc nghiệm
Phần 1 (câu 1-15): https://youtu.be/i0QJBAdiUKY
Phần 2 (câu 16-25): https://youtu.be/xIpMmJGJUCI
Tài liệu
Link video đầy đủ của thầy Đăng: https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg
Bạn nào có thắc mắc hay góp ý gì xin hãy để lại bình luận dưới đây nhé