Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Học toán online miễn phí với bài giảng “Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.

Tại đây, các em có thể xem video về bài giảng, làm bài tập trắc nghiệm, xem video sửa bài tập và download file về làm lại lần nữa.

Chúc các em học hiệu quả ^_^

Video giảng dạy bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng: \(a^x>b\) hoặc \(a^x \geq b\) hoặc \(a^x<b\) hoặc \(a^x \leq b\) (với \(a > 0,a \neq 1\))

Vì \(a^x > 0 \;\forall x \in \mathbb R\) nên nếu \(b \leq 0\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb R\) hoặc vô nghiệm (tùy vào dấu của bất phương trình là > hay <)

Với \(b > 0\), ta có hai trường hợp:

Nếu \(a>1\) ta có: \(a^x > b \Leftrightarrow x > \log_a b\)

Nếu \(0 < a < 1\) ta có: \(a^x > b \Leftrightarrow x < \log_a b\)

Tương tự với các dạng khác của bất phương trình

Người ta cũng thường đưa bất phương trình mũ về dạng: \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\)

Nếu \(a > 1\) thì \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)

Nếu \(0 < a <1\) thì \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)\)

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

a) \(2^x < 3\)

b) \(0,3^x < 1\)

c) \((\sqrt{2}-1)^{x^2+3x} \geq (3+2\sqrt{2})^{x+2}\)

d) \(2^{x^2}.3^{x+1} \leq 2\)

Giải:

a) \(2^x < 3 \Leftrightarrow x < \log_2 3\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = (-\infty;\log_2 3)\)

b) \(0,3^x < 1 \Leftrightarrow x > \log_{0,3} 1 \Leftrightarrow x > 0\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=(0;+\infty)\)

c) $(\sqrt{2}-1)^{x^2+3x} \geq (3+2\sqrt{2})^{x+2} $

$ \Leftrightarrow (\sqrt{2}-1)^{x^2+3x} \geq (\sqrt{2}-1)^{2x+2} $

$ \Leftrightarrow x^2+3x \leq 2x+2 $

$ \Leftrightarrow x^2+x-2 \leq 0 $

$ \Leftrightarrow -2\leq x \leq 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=[-2;1]\)

d) $2^{x^2}.3^{x+1} \leq 2 $

$ \Leftrightarrow \log_2 (2^{x^2}.3^{x+1}) \leq \log_2 2 $

$ \Leftrightarrow x^2+(x+1)\log_2 3 \leq 1 $

$ \Leftrightarrow x^2 +x.\log_2 3 +\log_2 3 -1 \leq 0$

$ \Leftrightarrow -1\leq x \leq 1-\log_2 3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=[-1;1-\log_2 3]\)

Bất phương trình logarit

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng: \(\log_a x < b\) hoặc \(\log_a x >b\) hoặc \(\log_a x \leq b\) hoặc \(\log_a x \geq b\) (với \(a>0,a\neq 1\))

Có hai trường hợp:

Nếu \(a > 1\) thì \(\log_a x < b \Leftrightarrow 0 < x < a^b\)

Nếu \(0 < a <1\) thì: \(\log_a x < b \Leftrightarrow x > a^b\)

Tương tự với các dạng bất phương trình khác

Người ta cũng thường đưa bất phương trình logarit về dạng: \(\log_a f(x) < \log_a g(x)\)

Nếu \(a>1\) thì \(\log_a f(x) < \log_a g(x) \Leftrightarrow 0 < f(x) < g(x)\)

Nếu \(0<a<1\) thì \(\log_a f(x) < \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0\)

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

a) \(\log_{0,5} x >-3\)

b) \(\log_{\sqrt{2}} (x-1)\geq \log_2(3x+1)\)

c) \(\log_2(4^x+4)>x+ \log_2 (2^{x+1}-3)\)

Giải:

a) \(\log_{0,5}x>-3 \Leftrightarrow 0<x<0,5^{-3} \Leftrightarrow 0<x<8\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=(0;8)\).

b) \(\log_{\sqrt{2}} (x-1)\geq \log_2 (3x+1)\)

Điều kiện: $\begin{cases}x-1&>0\\3x+1&>0\end{cases}\Leftrightarrow x>1$

Phương trình tương đương:

$\log_2 (x-1)^2 \geq \log_2 (3x+1)$

$ \Leftrightarrow x^2-2x+1 \geq 3x+1$

$ \Leftrightarrow x^2-5x \geq 0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x&\leq 0\\x&\geq 5\end{aligned} \right.$

So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: \([5;+\infty)\)

c) \(\log_2(4^x+4)>x+\log_2 (2^{x+1}-3)\)

Điều kiện: \(2^{x+1}-3 >0 \Leftrightarrow x > \log_2 \dfrac{3}{2}\)

Lấy mũ hai vế với cơ số 2 ta được:

$2^{\log_2(4^x+4)}>2^x.2^{\log_2 (2^{x+1}-3)} $

$ \Leftrightarrow 4^x+4>2^x.(2^{x+1}-3)$

Đặt \(t=2^x, \;(t>0)\), phương trình trở thành:

$t^2+4>t(2t-3)$

$ \Leftrightarrow t^2-3t-4<0$

$ \Leftrightarrow -1<t<4$

Do \(t>0\) nên ta có: $0<t<4 $

$ \Leftrightarrow 0<2^x<4$

$ \Leftrightarrow x<2$

So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=\left(\log_2 \dfrac{3}{2}; 2\right)\)

Video cách giải bất phương trình mũ và logarit bằng xét dấu

Bài tập trắc nghiệm: Bất phương trình mũ – Bất phương trình logarit

This quiz is for logged in users only.

Tên người dùng hoặc Địa chỉ Email

Mật khẩu

Tự động đăng nhập

Đăng nhập bằng Google

Video sửa bài tập trắc nghiệm

Phần 1 (câu 1-15): https://youtu.be/i0QJBAdiUKY

Phần 2 (câu 16-25): https://youtu.be/xIpMmJGJUCI

Tài liệu

Link video đầy đủ của thầy Đăng: https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg